eter: rozwiąż równanie x³-(a²-a+7)x-(3a²-3a-6)=0 jeśli jednym z jego rozwiązań jest liczba -1

Megi: jeżeli - 1 jest piwrw. to W(-1)=0 czyli -1 +a-a+7 -3a² +3a +6+0 -2a² +2a +12=0 czyli a² - a - 6=0 Δ=25 √Δ =5 a₁ = 3 a₂ = -2 teraz po podst. za a=3 otrzymasz x³-13x -12=0 x³- x - 12x - 12=0 x(x²) - 12(x+1)= 0 x(x - 1)(x + 1) - 12(x+1)= 0 (x +1)(x²+x -12)=0 Δ= 49 √Δ =7 x₁ = 3 x₂ = - 4 więc dla a= 3 rozwiązania są x= -1 x= 3 x= - 4 podobnie oblicz wstawiajac za a = - 2 OK!

eter: oj dzięki... zrobiłam to zadanie bardziej skomplikowanym sposobem, tzn. 1. Z treści zadania wynika, że wielomian (zgodnie z tw- "wielomian stopnia n ma co najwyżej n różnych pierwiastków rzeczywistych) może mieć 2 lub 3 pierwiastki. a) rozpatrzyłam przypadek gdy ma 3 rozwiązania wtedy jego postać iloczynowa wygląda tak: (x-x_{1))(x-x2)(x-x{3})=0 przyrównałam ją do postaci ogólnej i otrzymałam: (x-x_{1))(x-x2)(x-x{3})=x³-(a²-a+7)x-(3a²-3a-6) x³+x²(1-x₂-x_{1))+x(-x2-x1+x1x2)+x1x{2}=x³-(a²-a+7)x-(3a²-3a-6) jeżeli wielomiany są sobie równe to współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe, zatem porównałam je i otrzymałam układ trzech równań z trzema niewiadomymi. Po rozwiązaniu okazało się, że a₁=3 a a₂=-2 podstawiłam i otrzymałam te same rozwiązania co Ty (wstawiłam na forum, bo pomyliłam się w ostatniej linijce obliczeń i mi nie wychodziło poprawnie, b) analogicznie rozpatrzyłam przypadek gdy równanie ma 2 pierwiastki, przyrównałam postać iloczynową i ogólną, porówanałam współczynniki, ale przy x₃ wyszło mi, ze 0=1 a to jest sprzeczność... moje pytanie brzmi: czy taki sposób rozwiązania jest poprawny? czy mogę zakładać że równanie to ma dwa lub trzy rozwiązania i po kolei rozpatrywać? moje pytanie brzmi

b.: wielomian stopnia 3 ma albo 3 pierwiastki rzeczywiste (licząc krotności), albo jeden, nie może mieć 2 czyli postacie możliwe są takie: (x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) a właściwie (x+1) (x-x₂) (x-x₃), no bo -1 jest pierwiastkiem i druga: (x+1)(x²+px+q) gdzie p²-4q<0 (czyli to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań) Twoja metoda jest dobra, choć należałoby jeszcze sprawdzić ten drugi przypadek (może w ogóle nie ma rozwiązań poza -1?)

b.: w tym drugim dostaniemy p+1 = 0, czyli p=-1, q+p = -(a²-a+7); q = -(3a²-3a-6) no i trzeba by zobaczyć, co z tego wyjdzie (pewnie sprzeczność )

Megi: Pytanie do Pana "b" czy mój sposób podanie rozwiazania nie jest dobry ja uważam ,że w tym przypadku kiedy x = -1 to jest to sposób prostszy

eter: sposób jest z pewnością łatwiejszy... aha i jest jedna sprawa... odpowiedź ma wyglądać tak: x= -1 x= -3 x= 4. Tobie wyszły inne znaki( x=-1 x= 3 x=- 4), mi również. Spróbujmy przemyśleć dlaczego, ja rozwiązałam dwa razy i za każdym razem wychodziło błędnie...

Megi: Mój sposób rozwiazania njaprostszy na świećie po co komplikować sobie życie tu masz sprawe ułatwioną , bo masz pierwiastek x = -1 współczynniki p i q wtedy gdybyś nie miała żadnego podanego pierwiastka Zad. z matematyki powinno się rozwiazywac najprostszą drogą ! To jest dobrze rozwiazane zapewniam Cie na 100%%%%%%

Megi: policz W(4) i W( -4) ma dac zero ! może w odp jest błąd bo to się często zdarza

Megi: Sprawdziłam w(-4) i nie wyszło zero wiec jeszcze raz przejrzałam Jest bład wiec równanie x² -x -12 = 0 Δ =49 √Δ = 7 x₁ = (1 +7)/2 = 4 x₂ = - 3 przeoczyłam minus przy x i Ty pewnie też terraz ok! soryyy ale oczoplasu mozna dostać

Megi: Czyli dla drugiego a policz podobnie

b.: Megi: Twoje rozwiązanie jest ok (nie wiem jak rachunki, ale metoda tak), i jest prostsze -- ale eter pytała, czy jej bardziej skomplikowany sposób jest poprawny. I właściwie też jest, choć pozostaje jeszcze ten przypadek o którym pisałem poprzednio.

Megi: OK, bo juz myslałam ,że coś ze mną nie tak pomyslałam,że zmęczenie "materiału" Bardzo mnie wciągnął ten portal i moze za dużo czasu tu spędzam ,a zmęczenie robi swoje pozdrawiam

b.: pozdrawiam również

eter: Megi, serdecznie dziękuję Ci za Twój sposób, wiem, że jest najłatwiejszy, ale podałam swój, bo własnie taki mi przyszedł do głowy jako pierwszy. b mam pytanie dot. krotności pierwiastków (napisałeś/łaś "wielomian stopnia 3 ma albo 3 pierwiastki rzeczywiste (licząc krotności), albo jeden, nie może mieć 2"). mam matme rozszerzoną i ją lubię, ale krotności potraktowaliśmy trochę powierzchownie jak na razie. Czy to oznacza, zgodnie z tym w nawiasie, że pierwiastki nieparzystego stopnia mogą mieć tylko nieparzystą ilość pierwiastków? Czy jest na to jakieś twierdzenie/dowód/uzasadnienie cokolwiek?

Miki: Wiesz z pewnością ,że równanie st. n może mieć co najwyżej n rozwiązań tzn najwyżej n lub mniej to chyba jasne no nie Ciesze się,że lubisz matmę Często tak jest,że jak sie dużo wie to proste zad. sprowadza sie do niepotrzebnych utrudnień no nie ale to nic złego wyrabia się przez to logiczne myslenie Powodzenia dasz radę

eter: no rozumiem, że może mieć mniej, to jest logiczne, dlatego też rozpatryjąć przypadki w równaniu stopnia trzeciego wzięłam pod uwagę, że może mieć on trzy, dwa lub jedno rozwiązanie, ale potem "b" mi napisał, że w równaniu trzeciego stopnia nigdy nie będzie dwóch pierwiastków, są tylko możliwości: trzy albo jeden, co wynika wg niego z krotności... więc poprosiłam o dokładniejsze uzasadnienie czemu dwa być nie mogą?

Megi: bo prosty przykład x³+8=0 masztylko jeden x = - 2 bo z róznicy szescianów wyrażenie kw.już nia ma pierwiastków OK? więc jeżeli ma dwa to już i ma trzy a jeżeli ma jeden to nie może mieć trzech OK

b.: no bo jeśli W(x) ma dwa pierwiastki, powiedzmy x₁ i x₂ (może być x₁=x₂ -- pierwiastek krotności 2), to W(x) dzieli się przez wielomian (x-x₁)(x-x₂), i iloraz jest wówczas stopnia 1 -- więc ma pierwiastek czyli w sumie są 3 pierwiastki x₀ nazywa się pierwiastkiem stopnia k wielomianu W(x), jeżeli W(x) dzieli się przez (x-x₀)^k oraz W(x) NIE dzieli się przez (x-x₀)^k+1 (ta druga część chyba jest nie w każdej definicji krotności -- może chyba zależeć np. od podręcznika )

Pateycjaaa: x−x 12 ≤0