b.: niech a=sin54, b=sin18
jest taki wzór
sinx - siny = 2sin((x-y)/2) cos((x+y)/2)
czyli
(1) a-b = sin54 - sin18 = 2sin18 cos36 = 2sin 18 sin54 = 2ab
[ to się okaże niepotrzebne, ale już wpisałem
mamy też (2)
a = sin54 = sin(36+18) = sin36 cos18 + sin18 cos36 =
= 2sin18 cos
2 18 + sin 18 sin 54 =
= 2 sin18 (1-sin
2 18) + sin18 sin54 =
= 2b(1-b
2) + ab
]
I mamy też
(3)
a-b = sin54-sin18 = cos36 - cos72 = 1 - 2sin
2 18 - (2cos
2 36 - 1) =
= 1 - 2b
2 - 2a
2 + 1 =
= 2 - 2(a
2+b
2)
mamy z (1)
a
2+b
2 = (a-b)
2 + 2ab = (a-b)
2 + (a-b)
niech t=a-b, skorzystajmy z (3) i tego przed chwilą
t = 2-2(a
2+b
2) = 2-2[ (a-b)
2 + (a-b) ] = 2 - 2(t
2+t)
0 = - 2t
2 - 3t + 2
stąd t=-2 lub t=1/2
oczywiście t=-2 jest niemożliwe, więc musi być t=1/2 -- koniec dowodu
bardzo możliwe, że da się prościej...