Nivea: Podaj jawny wzór na Sn oraz udowodnić indukcyjnie jego poprawnośc. a_n=a_n-1+2a_n-2, a₀=1, a₁=1

Nivea: bardzo bym prosił o pomoc w tym zadaniu .

b.: to chyba nie z liceum? zbadaj najpierw, jakie ciągi geometryczne spełniają ten wzór rekurencyjny (bez warunków początkowych): jeśli a_n=αqⁿ (a≠0, q≠0) to równanie przyjmuje postać αqⁿ = αq^n-1 + 2αq^n-2 / : αq^n-2 q² = q + 2 q²-q-2 = 0 czyli q=-1 lub q=2 zatem ciągi α(-1)ⁿ oraz β2ⁿ spełniają wzór rekurencyjny czyli też a_n = α*(-1)ⁿ + β*2ⁿ spełnia wzór rekurencyjny teraz wstawiając n=0, n=1 dostaniesz układ równań na α i β i w konsekwencji gotowy wzór jawny potem pozostaje udowodnić indukcyjnie -- to już nietrudne

Nivea: No nie z liceum No wielkie dzięki to spróbuje teraz to zrobić. Dzięki

Jakub: Pytanie czy są inne ciągi niż geometryczne i "złożenia liniowe" tych ciągów geometrycznych, które spełniają ten wzór rekurencyjny?

b.: akurat ten wzór rekurencyjny nie -- bo dla dow. warunków początkowych można znaleźć odpowiednie α i β. No a jasne jest, że wzór rekurencyjny + warunki początkowe określa już ciąg.

Nivea: No niestety nie moge udowodnić indukcyjnie Może ktoś pomoże byłbym bardzo wdzięczny.

Basia: a_n=α(-1)ⁿ+β2ⁿ a₀=α(-1)⁰+β2⁰ a₀=α+β (1) α+β=1 a₁=α(-1)¹+β2¹ a₁=-α+2b (2) -α+2β=1 z (1) i (2) 3β=2 β=2/3 α+2/3=1 α=1/3 a_n=1/3*(-1)ⁿ+2/3*2ⁿ dowód indukcyjny: 1. dla n=0 L=a₀=1 P=1/3+2/3=1 L=P 2. zakładamy,że a_n-1=1/3*(-1)^n-1+2/3*2^n-1 a_n=1/3*(-1)ⁿ+2/3*2ⁿ mamy udowodnic, że a_n+1=1/3*(-1)ⁿ⁺¹+2/3*2ⁿ⁺¹ z wzoru rekurencyjnego mamy a_n+1=a_n+2a_n-1= (na mocy zał.indukcyjnego) 1/3*(-1)ⁿ+2/3*2ⁿ+2/3*(-1)^n-1+4/3*2^n-1= 1/3*(-1)^n-1*[(-1)+2] + 2/3*2^n-1*[2+2]= 1/3*(-1)^n-1+2/3*2^n-1*4= \\\ (-1)^n-1=(-1)ⁿ⁺¹ 4=2² 1/3*(-1)ⁿ⁺¹+2/3*2ⁿ⁺¹ c.b.d.o.

tmmariano: Witam! Próbuje zrozumieć te linijki i jakoś nie mogę. Czy może mi ktoś bardziej je objaśnić? 1/3*(-1)n+2/3*2n+2/3*(-1)n-1+4/3*2n-1= 1/3*(-1)n-1*[(-1)+2] + 2/3*2n-1*[2+2]= 1/3*(-1)n-1+2/3*2n-1*4= \\\ (-1)n-1=(-1)n+1 4=2² 1/3*(-1)n+1+2/3*2n+1

Basia: wyłączenie przed nawias z 1 i 3 1/3*(-1)^n-1 a z 2 i 4 2/3*2^n-1

tmmariano: kurde dalej nie czaje... zupełnie nie wiem jak to policzyć, nie rozumiem jak z 1 lnijki wyszła 2

tmmariano: mam swój przykład i liczę, doszedłem do momentu (1) α+β=0 (2) α(4-2√3)+β(4+2√3)=2 nie wiem jak to policzyć...

Basia: β= -α α(4-2√3)-α(4+2√3)=2 i wyłączyć α przed nawias

tmmariano: kurde robię to zadanie od 15 i koszmar a_n=-2a_n-1 + 2a_n-2 a0=0, a1=2 najgorszy jest dowód indukcyjny możesz mi to dokończyć? Odwdzięczę się - prosze

Basia: spróbuję to zrobić od poczatku do końca; za jakieś pół godzinny powinno być

tmmariano: oki, czekam

Basia: no to na dzień dobry wyszło mi co innego a_n=αqⁿ a_n=-2αq^n-1+2αq^n-2 αqⁿ=-2αq^n-1+2αq^n-2 /αq^n-2 q²=-2q+2 q²+2q-2=0 Δ=4-4*1*(-2) Δ=12 √Δ=2√3 q₁=(-2-2√3)/2=-1-√3 q₂=(-2+2√3)/2=-1+√3 a_n=α*(-1-√3)ⁿ + β*(-1+√3)ⁿ a₀=0=α+β a₁=2=α*(-(1+√3))¹ + β*(√3₁)¹= α(√3+1)¹+β(√3-1)¹ β=-a -α(√3+1) - α(√3-1)=2 -α(√3+1+√3-1)=2 -α*2√3=2 α=-1/√3=-√3/3 β=√3/3 a_n=-√3/3*(-1)ⁿ*(√3+1)ⁿ + √3/3*(√3-1}ⁿ a_n=√3/3 * [(p(3}-1)ⁿ - (-1)ⁿ(√3+1)ⁿ] to jest na pewno dobrze; sprawdzałam; indukcja za jakiś czas; umieram z głodu; ok?

tmmariano: ok

Basia: przelicz to sam jeszcze raz; mogłam sie gdzieś pomylić; to jest dość koszmarne

tmmariano: no wiem że jest sprawdzam właśnie

tmmariano: faktycznie, jest poprawnie tak samo mam...

Basia: dowód indukcyjny mi nie idzie; może gdzieś jest błąd; musisz to mieć dzisiaj? popatrzyłabym na to jutro świeżym okiem

tmmariano: jutro może być

Basia: mam to cholerstwo; spać bym pewnie nie mogła an=√3/3 * [(√3-1)n - (-1)ⁿ(√3+1)ⁿ] (0) zapiszmy to trochę inaczej a_n=(1/√3) * [ (√3-1)ⁿ - (-1)(-1)^n-1(√3+1)ⁿ] a_n=(1/√3) * [ (√3-1}ⁿ + (-1)^n-1(√3+1)ⁿ] i ten wzór udowodnimy indukcyjnie dla n≥1 dla n=0 pokazujemy prawdziwość wzoru (0) 1. L=a₀=0 P= (1/√3) * [ 1 - 1*1] = 0 L=P 2. Założenie: a_n-1=(1/√3) * [ (√3-1)^n-1 + (-1)^n-2(√3+1)^n-1 ] a_n= (1/√3) * [ (√3-1}ⁿ + (-1)^n-1(√3+1)ⁿ ] Teza: a_n+1= (1/√3) * [ (√3-1)ⁿ⁺¹ + (-1)ⁿ(√3+1)ⁿ⁺¹ ] dowód: z wzoru rekurencyjnego mamy: a_n+1= -2a_n+2a_n-1= (-2/√3)*[ (√3-1)ⁿ + (-1)^n-1(√3+1)ⁿ ] + (2/√3)*[ (√3-1)^n-1 + (-1)^n-2(√3+1)^n-1 ] = (2/√3)*[ (√3-1)^n-1 - (√3-1)ⁿ + (-1)^n-2(√3+1)^n-1 - (-1)^n-1(√3+1)ⁿ ]= (2/√3)*[ (√3-1)ⁿ*(1/(√3-1) - 1) + (-1)^n-2(√3+1)ⁿ*(1/(√3+1) -(-1)*1) ] 1/(√3-1) -1 = (√3+1)/(3-1) - 1= (√3+1-2)/2= (√3-1)/2 1/(√3+1) + 1 = (√3-1)/(3-1) +1 = (√3-1+2)/2 = (√3+1)/2 (-1)^n-2=(-1)ⁿ stąd nasze wyrażenie = (2/√3)*[ (√3-1)ⁿ⁺¹/2 + (-1)ⁿ(√3+1)ⁿ⁺¹/2 ] = a to po wyłączeniu 1/2 daje a_n+1 takie jak w założeniu co studiujecie, że wam takie koszmarki kazali liczyć?

chichotka: Podaj jawny wzór na Sn oraz udowodnić indukcyjnie jego poprawność. an=4an-1+2an-2, a0=0, a1=1

chichotka: Podaj jawny wzór na Sn oraz udowodnić indukcyjnie jego poprawnośc. an=an-1+2an-2, a0=1, a1=1

chichotka: Proszę o pomoc

Basia: na miłość boską co Wy studiujecie? nie pomogę dopóki się nie dowiem (zapisałam to sobie, ale to już jutro ok?)

chichotka: dzięki jak się miało słabego nauczyciela w szkole średniej to potem wychodzą braki

Basia: to nie są zagadnienia ze średniej szkoły; dlatego pytam co studiujecie; indukcja owszem jest w średniej, ale nie na tym poziomie

Basia: piszę rozwiązanie w nicku "chichotka", tu już trochę za dużo tego wszystkiego

ralph4: ja koleżanko informatyke ale jeszcze wladowali nam jakas smieszna ekonometrie i dlatego takie cyrki sa. a co do szkoly sredniej do tam to wogole kladli na to lage, tak prawde mowiac

tmmariano: dzięki "Basia" jesteś MEGA, MEGA, Informatyki się uczymy

janol: To moze ja sie dolacze do tego posta a_n = 2a_n-1+a_n-2, a₀ = 2 a₁ = 1 Podac jawny wzor na S_n oraz uduwodnic indukcyjnie jego poprawnosc Bym byl bardzo wdzieczny za rozwiazanie tego zadanka. Pozdrawiam

%3Cpre%3E%3Cb%3Ejanol%3A%3C%2Fb%3E%20To%20moze%20ja%20sie%20dolacze%20do%20tego%20posta%20%0A%0Aa%3Csub%3En%3C%2Fsub%3E%20%3D%202a%3Csub%3En%3C%2Fsub%3E-1%2Ba%3Csub%3En%3C%2Fsub%3E-2%2C%20a%3Csub%3E0%3C%2Fsub%3E%20%3D%202%20%20a%3Csub%3E1%3C%2Fsub%3E%20%3D%201%0A%0APodac%20jawny%20wzor%20na%20S%3Csub%3En%3C%2Fsub%3E%20oraz%20uduwodnic%20indukcyjnie%20jego%20poprawnosc%20%0A%0ABym%20byl%20bardzo%20wdzieczny%20za%20rozwiazanie%20tego%20zadanka.%20Pozdrawiam%0A%3C%2Fpre%3E

MANIA: Podać jawny wzór na Sn oraz udowodnić indukcyjnie jego poprawność: a_n = − 3a_n−1 +2a_n−2 , a₀ = 1, a₁ = 2 a ktoś potrafi ten przyklad?

Mariusz: Mamy równanie a_n = − 3a_n−1 +2a_n−2 , a₀ = 1, a₁ = 2 Najlepliej to chyba z funkcji tworzących skorzystać bo to co podała Basia to zgaduj zgadula A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Wstawiasz do równania indeksując od dwójki ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞(−3)a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞2a_n−2xⁿ Sumę częściową też możesz zapisać rekurencyjnie s₀=a₀ s_n=s_n−1+a_n S(x)=∑_n=0^∞s_nxⁿ Wstawiasz do równania indeksując od jedynki ∑_n=1^∞s_nxⁿ=∑_n=1^∞s_n−1xⁿ+∑_n=1^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞s_nxⁿ−a₀=x(∑_n=1^∞s_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀ ∑_n=0^∞s_nxⁿ=x(∑_n=0^∞s_nxⁿ)+∑_n=0^∞a_nxⁿ S(x)=xS(x)+A(x) S(x)(1−x)S(x)+A(x)

	1
S(x)=		A(x)
	1−x

Mariusz: Używając funkcji tworzących nie musisz zgadywać że rozwiązanie ma postać sumy ciągów geometrycznych, nie musisz zgadywać postaci rozwiązania w przypadku wielokrotnych pierwiastków, Gdybyś miał(a) równanie niejednorodne to sposobem Basi było jeszcze więcej zgadywania zatem funkcje tworzące są wygodniejsze i mają nieco szerszy zakres stosowania