trójkat i 6latek: W trójkącie ABC wybrano punkt P i poprowadzono półproste AP,BP,CP które przecieły boki BC,AC i AB odpowiednio w punktach A₁ B₁ i C₁ Udowodnij że

	AB1
a) U{PABP{PBCP=
	B1C

	AB1		CA1		BC1
b)		*		*		=1
	B1C		A1B		C1A

Wiem tylko że jeżeli dwa trójkaty maja równe wysokości to stosunek pól jest rowny stosunkowi podstaw

Mila: ozn. [AB₁B]=P_ΔAB1B 1)

AB1		[AB1B]		[AB1P]		[AB1B]−[AB1P]
	=		=		=		=
B1C		[CB1B]		[CB1P]		[CB1B]−[CB1P]

	[ABP]
=
	[CBP]

6latek: Milu To co napisałaś o 21 : 44 to już rozumiem Znalazłem takie wyjaśnienie tego Niech punkty ABC leżą na prostej p a punkt D poza prostą p Wówczas

PABD		AB
	=
PACD		AC

W dowodzie tej własności wystarczy wykorzystać fakt że wysokości w trójkątach ABD i ACD poprowadzone z wierzchołka D pokrywają się Pózniej już zastanowię się nad drugą częścią zadania

6latek: Ma być

AB1		CA1		BC1
	=		=
B1C		A1B		C1A

Dorysujemy prostą MN równoległą do boku BC ΔAMC₁∼ΔBCC₁ (cecha KKK

	MA		AC1
1*)		=
	BC		BC1

ΔANB₁∼ΔCBB₁ (cecha KKK

AN		AB1
	=		to
BC		CB1

	BC		CB1
2*)		=
	AN		AB1

Teraz jest część (tu prosiłbym o wytłumaczenie dlaczego tak Ponadto mamy

AN		AP		MA
	=		=
BA1		PA1		A1C

Stąd

	BA1		AN
3*)		=
	A1C		MA

misia: Witam naukowca b) to tw. Cevy z rys. Mili

	AB1		P(ABP)
1/		=		( to napisała Ci Mila w a)
	B1C		P(CBP)

analogicznie: dla boków BC i AC

	CA1		P(APC)
2/		=
	A1C		P(ABP)

	BC1		P(CBP)
3/		=
	C1A		APC)

mnożąc stronami te trzy równości otrzymasz tezę : ........

6latek: Witam serdecznie obie Panie i pozdrawiam Może dokończe swój wpis z 21 : 09

	AC1		BA1		CB1
Mnożąc stronami równości 1,2,3 otrzymujemy		=		=		=1
	C1B		A1C		B1A

To jest pierwszy dowód tego twierdzenia z książki Geometria trójkąta To co obie Panie napisaliście to jest drugi dowód tego twierdzenia Miałem w sumie kłopot z wyborem trzeciej pary trójkatów podobnych a może trzeba szukać jeszcze innej pary trójkatów podobnych żeby dostać 3^*) Oczywiście bardzo dziękuję za pomoc

Mila: Zaciekawił mnie dowód z prostą równoległą do BC. Postaram się wyjaśnić jutro z kolorami, jeśli misia wcześniej nie napisze. Dobranoc

6latek: Dobrej nocy

Mila: SZukana wartość iloczynu:

AB1		CA1		BC1
	*		*		= ?
B1C		A1B		C1A

(Popatrz co tam napisałeś) Wyjaśnienie 21: 09 od momentu − ponadto mamy:

	AN		AP
a) ΔANP∼ΔBA1P⇔		=
	BA1		PA1

	AM		AP
ΔAMP∼ΔCA1P⇔		=
	CA1		PA1

stąd:

AN		AM		CA1		AM
	=		⇔		=
BA1		CA1		A1B		AN

=======================

AB1		CA1		BC1		AN		AM		BC
	*		*		=		*		*		=1
B1C		A1B		C1A		BC		AN		AM

Analizuj, bardzo nieczytelny zapis w tym edytorze tekstu, mogłam się pomylić w zapisie.

6latek: d Dzień dobry Milu Będę to póżniej rozgryzał .Teraz musze wyjechać

Mila: III sposób BM||AA₁, CN||AA₁

	AB1		AP
1) ΔAPB1∼ΔCNB1⇔		=
	B1C		CN

2)

Mila: 2)

	BC		NC
ΔPBA1∼ΔNBC⇔		=
	BA1		PA1

3)

	A1C		PA1
ΔCPA1∼ΔCMB⇔		=
	BC		MB

4)

	BC1		MB
ΔMBC1∼ΔAC1M⇔		=
	C1A		AP

======================

AB1		BC		A1C		BC1
	*		*		*		=
B1C		BA1		BC		C1A

	AP		NC		PA1		MB
=		*		*		*		⇔
	CN		PA1		MB		AP

AB1		CA1		BC1
	*		*		=1⇔
B1C		A1B		C1A

===============

6latek: Dziękuję Milu za ciężką pracę