Minimalizacja pola trójkąta LosowyCzłowiek: Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 5, |AC| = 6 oraz |BC| = 7. Na boku BC tego trójkąta obrano punkt D różny od punktów B i C. W trójkąty ABD i ACD wpisano okręgi o środkach S₁ i S₂ odpowiednio. Wykaż, że najmniejsze możliwe pole trójkąta AS₁S₂ wynosi 24/7.

ite: Dodaję animację przedstawiającą zmiany pola tego trójkąta: https://www.geogebra.org/m/vyanaygr

LosowyCzłowiek: Rozwiązanie, gdyby ktoś potrzebował: Na początek zauważmy, że środki S₁ i S₂ okręgów wpisanych w mniejsze trójkąty leżą na dwusiecznych kątów BAD i CAD odpowiednio. Oznacza to, że miara kąta S₁AS₂ jest stała (tj. nie zależy od położenia punktu D). Możemy więc zapisać, że: ∠S₁AS₂ = ¹₂∠BAC Teraz ustalmy, że kąty przy wierzchołkach A, B i C wynoszą odpowiednio α, β i γ, natomiast kąt ADB ma miarę φ. Z sumy miar kątów w trójkącie ADB otrzymuje się wówczas: ∠DAB + ∠DBA = 180° − φ W trójkącie AS₁B mamy zaś: ∠ABS₁ = ^β₂ (ponieważ odcinek BS₁ zawiera się w dwusiecznej kąta ABD) ∠AS₁B = 180° − ¹₂∠DAB − ¹₂∠DBA = 180° − ¹₂(∠DAB + ∠DBA) = = 180° − ¹₂(180° − φ) = 90° + ^φ₂ Analogicznie w trójkącie ADC mamy: ∠DAC + ∠DCA = φ (ponieważ ∠ADC = 180° − φ) W trójkącie AS₂C mamy: ∠ACS₂ = ^γ₂ (ponieważ odcinek CS₂ zawiera się w dwusiecznej kąta ACD) ∠AS₂C = 180° − ¹₂∠DAC − ¹₂∠DCA = 180° − ¹₂(∠DAC + ∠DCA) = = 180° − ^φ₂ Ustalmy ponadto, że |AB| = c, |AC| = b oraz |BC| = a. Z twierdzenia sinusów w trójkącie ABS₁ otrzymuje się: AS₁ c c c sin ^β₂ —— = —————— = ——— ⇒ AS₁ = ———— sin ^β₂ sin (90° + ^φ₂) cos ^φ₂ cos ^φ₂ Z twierdzenia sinusów w trójkącie ACS₂ otrzymuje się: AS₂ b b b sin ^γ₂ —— = —————— = ——— ⇒ AS₂ = ———— sin ^γ₂ sin (180° − ^φ₂) sin ^φ₂ sin ^φ₂ Teraz możemy zapisać pole trójkąta AS₁S₂ jako: b c sin ^α₂ sin ^β₂ sin ^γ₂ P = ¹₂ |AS₁| |AS₂| sin ^α₂ = ———————————— (ponieważ 2sin ^φ₂cos ^φ₂ = sin φ) sin φ Licznik tego ułamka jest stały, ponieważ zarówno długości boków trójkąta ABC, jak i miary jego kątów są stałe i niezależne od położenia punktu D. Innymi słowy, pole trójkąta AS₁S₂ zależy jedynie od wartości kąta φ. Łatwo zauważyć, że pole będzie najmniejsze, jeżeli mianownik będzie największy, czyli gdy sin φ = 1. Stąd: P_min = b c sin ^α₂ sin ^β₂ sin ^γ₂ Korzystając z faktu, że sin ^α₂ sin ^β₂ sin ^γ₂ = ^r_4R oraz ze wzorów: 1) P = ^abc_4R 2) P = rp (gdzie p = ^{a + b + c}₂) otrzymuje się: P² P_min = —— ap Ze wzoru Herona obliczymy, że P = 6√6, więc P² = 216. Ostatecznie mamy zatem: 216 24 P_min = ——— = — 7 ⋅ 9 7 co należało wykazać.

6latek: To zadanie pewnie na maturę nie jest

.: Losowy −−− taka sugestia ... do zapisu ułamków stosuj funkcję U{} {} (bez spacji):

P2
	będzie łatwiej niż pisać w trzech linijkach ... jak również bardziej przejrzyście
ap

niż używanie u{} {} : ^P2_ap

LosowyCzłowiek: Okej, dzięki, ja to wychowany na klasycznym LaTeX'ie/TikZ, ale tutaj komendy nie działają

.: to forum w zamyśle twórcy miało być prostym narzędziem dla młodzieży, a młodzież nie miała styczności z LaTeX'owym światem, więc stworzył własny zestaw komend który jest stosunkowo łatwy do opanowania przez nastolatka.

.: Jak widać na licznych przykładach nie tak łatwym🙃

Mila: Dołączam do rozw. rysunek i z prawej podpowiedź jak ustalać miary kątów : AS₂C i AS1B. I − punkt przecięcia dwusiecznych kątów Δ 1)Rysunek Δ nie jest dokładny. Te okręgi nie są styczne do AD w tym samym punkcie. ∡ADB=2φ Myślę, że korzystającym z rozwiązania Losowego pomoże zrozumieć. Pozdrowienia dla Losowego