Środkowe 6latek: Udowodnic (na wektorach że środkowe trójkąta przecinają sie w jednym punkcie i który dzieli kązdą środkową w stosunku 1:2

	1
AD→=p→=a→+		b→
	2

	1
BE→=q→=b→+		c→
	2

	1
CF→=r→=c→+		a→
	2

Ale AB→+BC→+CA→=a→+b→+c→→=0 c→=−a→−b→

	1
Stąd BE→=q→=b→+		(−a→−b→)
	2

	1		1
q=b→−		a→−		b→
	2		2

	1		1
q→=		b→−		a→→
	2		2

	1
q→=		(b→ − a→)
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Wektory AP i AP sa kolinearne (równoległe Wektory BP i BE sa kolinearne (równoległe Więc mozemy zapisać AP→=k*AD→ BP→=m*BE→ AP→ + PB→=k*AD→ −m*BE→= AB→ i AB→=a→ k*AD→ − m*BE→=a→

	1		1
k*(a→+		b→)−m*		(b→ − a→)=a→
	2		2

	1		1		1
k*a→+		k*b→ −		m*b→+		*ma→=a→
	2		2		2

	1		1		1
k*a→+		m*a→ +		k*b→−		m*b→=a→
	2		2		2

	1		1
(k+		m)*a→+		(k−m)*b→=a→
	2		2

Stąd współczynnik przy a→ musi byc równy 1 a współczynnik przy b→ musi być równy 0

	1
{k+		m=1
	2

	1
{		(k−m)=0
	2

2k+m=2

1		1
	k−		m=0
2		2

2k+m=2 k−m=0 k=m 2m+m=2

	2
3m=2 to m=
	3

	2		2
k=m to k=		i m=
	3		3

Wobec tego

	2
AP→=		AD→
	3

	2
BP→=		BE→
	3

Jeśli punkt F to środek boku AB Musimy teraz udowodnić że trzecia środkowa CF przechodzi przez punkt P Wystarczy wykaząc ze wektory CP→ i CF→ są równoległe CF→CB→+BF→

	1
CF→=−BC→−		AB→
	2

	1
CF→=−b→ −		a→
	2

CP→=CB→+BP→

	2
CP→=−BC→+		*BE→
	3

	2		1
CP→=−b→+		*		(b→−a→)
	3		2

	1
CP→=−b→+		(b→−a→)
	3

	2		1
CP→=−		(b→+		→)
	3		a

	2
Z tego wychodzi że CP→=		CF→
	3

Więc równośc ta dowodzi nam że wektory CP→ i a także CF→ leżą na prostej która przechodzi przez wierzchołek C Stąd środkowa CF przechodzi przez punkt przecięcia środkowych AD i BE Możemy także zapisać że

	1
PD→=		AD→
	3

	1
PE→=		BF→
	3

	1
PF→=		CF→
	3

albo

AD→		BE→		CF→
	=		=		=2
AP→		BP→		PF→

Teraz powinno być dobrze