Granice ciągów z definicji 6latek: Pojęcie granicy . Ciągi zbieżne Mówimy że liczba (g) jest granicą ciągu (a_n) jeśli ⋀ ε>0 ⋁(n₀∊N i n₀=n₀(ε)) ⋀ n≥n₀ |a_n−g|<ε Zapis n₀=n₀(ε) oznacza że liczba n₀ jest zalężna od ε(jest dobierana do danej z góry liczby ε>0) Nierównośc |a_n−g|<ε może być zastąpiona nierównością nieostrą |a_n−g|≤ε Powołując się na definicję pokazać że

	1
lim n→∞1+		=1
	n

Dla ustalonej liczby ε>0 możemy dobrać takie n₀∊N że

	1
||1+		−1|<ε dla n≥n0
	n

	1
|		|<ε
	n

U{1}[n}<ε 1<n*ε −n*ε<−1

	1
n>
	e

	1
Tak więc za n0=n0(ε) wystarczy wziąć pierwszą liczbę naturalną większą od
	ε

	1
Mamy wówczas n≥n0 ⇒|1+		−1|<ε
	n

To mam jako przykład do obliczania granicy ciągów z definicji Zadania : Powołując sie na definicję wykazać że

	1
1) lim n→∞U{1−		=1
	n

	1
2) lim n→∞		=0
	√n2+1

	1
3) lim n→∞√1+		=1
	n

	1
4) lim n→∞2−		=2
	n

5) lim n→∞U{1}[n²}=0

	1
6) lim n→∞1+		=1
	n2+1

1) Dla ustalonej liczby ε>0 możemy dobrać takie n₀∊ℕ że

	1
|1−		−1|<ε dla n≥n0
	n

	1
|−		|<ε
	n

1
	<ε
n

	1
n>
	ε

	1
tak więc za n0=n0(ε) możemy przyjąć pierwsza liczbę naturalną większą od
	ε

	1
Wówczas mamy n≥n0 ⇒|1−		−1|<ε
	n

Przykład nr 4 ) Rozwiązanie takie same Przykład nr 2 Dla ustalonej liczby ε>0 możemy dobrać takie n₀ ∊N że

	1
|		−0|<∊ dla n≥n0
	√n2+1

	1
|		|<ε
	√n2+1

1
	<ε
√n2+1

Jak dalej liczyć?

ABC: w tego typu przypadkach idea jest taka że starasz się skomplikowane wyrażenie zawierające n zastąpić prostszym tak aby nierówność została zachowana , czyli : √n²+1>√n²=n możesz przejść do odwrotności dla liczb dodatnich

1		1
	<		<ε
√n2+1		n

6latek: I dalej będzie jak w 1) A w nr 3) bedziemy mieli |√1+1/n−1|<ε Czy tutaj trzeba zastosować wzór (a−b)(a+b)=a²−b²? dzięki za pomoc

ABC: tutaj mógłbyś po pierwsze pominąć moduł , przenieść 1 na drugą stronę , podnieść obustronnie do kwadratu: (1+1/n)< (1+ε)² teraz można różnie na przykład też pośrednio wstawić (1+1/n)<1+2ε<(1+ε)² z tej ostatniej łatwo wyznaczysz n w zależności od ε , choć bezpośrednio też by się dało ale czemu ty się za takie rzeczy bierzesz , geometrię Iwaszkiewicza przerabiaj

misia: Potwierdzam Takie zadania dla małolata,to jak młotem w głowę Pozdrawiam Panów

6latek: Również pozdrawiam Zadania z Repetytorium z Matematyki Laszuka Teraz trochę o podciągach poczytam z tej książki