Ciąg ograniczony 6latek: Ciąg jest ograniczony jeśli jest ograniczony z dołu i ograniczony z góry ⋁ M∊ℛ ⋀ n∊N |a_n|≤M Więc jeśli jest ograniczony tylko z dołu lub z góry to ciąg nie jest ograniczony . Zbadać ograniczoność następujących ciągów 1) a_n=sin(n)*cos(n)

	1		π
2) an=		*cos
	n2+1		2

3) a_n=log(2n+1)

	1		1		1		1
4) an=		+		+		+......+
	1*2		2*3		3*4		n(n+1)

	1		1		1		1
5) an=		+		+		+....		}
	2*7		5*10		8*13		(3n−1)(3n+4

	1
6) an= tg
	2n

	n2+1
7) an=(−1)n(n+1)(n+2)*
	n

8) a_n=e^1/n

	1
1) an=		sin(2n)
	2

	1		1
Więc ten ciąg bedzie ograniczony z dołu przez (−		) a z góry przez		więc to ciąg
	2		2

ograniczony 2) a_n=0 więc jest ograniczony 3) Ograniczony z dołu przez log(3) ale nie jest ograniczony z góry więc nie jest ograniczony

	1
4) an=1−		Z dołu bym go ograniczył przez (0 ) a z góry przez (1)
	n+1

Więc według mnie jest ograniczony 5) Nie wiem jak rozpisać

6latek: 5) podpowiedz : Jest ograniczony

	1
6) Pomogłem sobie wolframem bo nie wiem jak policzyć np tg(		czy tgU{1}[4} czy
	2

	1
tg
	6

	1
Można go ograniczyć z dołu przez 0 a z góry przez tg
	2

Więc jest ciągiem ograniczonym

	n2+1		1
7) Mozna zapisać go tak an=1*		czyli an=n+
	n		n

Z dołu jest ograniczony przez 2 ale z góry nie jest ograniczony więc nie jest ciągiem ograniczonym 8) Podpowiedz : Ograniczony jako ciąg zbieżny

ABC: to dziwne że zrobiłeś 4 a nie dajesz radę 5 , to tylko szczegół techniczny je różni czyli współczynnik z przodu:

1		1		3n+4−(3n−1)		5
	−		=		=		i podziel obie strony
3n−1		3n+4		(3n−1)(3n−4)		(3n−1)(3n−4)

tej równości przez 5

6latek: Dobrze