Suma pół prostokątów Tao Cat Agent : Sporządz wykres funkcji określonej na przedziale <0,1> wzorem y=x² przyjmując 10cm za jednostkę Przedział <0,1> na osi OX podziel na n równych części i na każdym z otrzymanych odcinków zbuduj prostokąt na którym przyjęto n=10 Wysokości kolejnych prostokątów maja długości

	1		2		3		4		n
(		)2,(		)2, (		)2,(		)2,........		)21
	n		n		n		n		n

a) Oblicz pola kolejnych prostokątów b) Oblicz sumę pól wszystkich prostokątów c) Znajdz granice tej sumy przy n→∞ Jakie jest znaczenie geometryczne tej granicy ? a)

	1
Długość podstawy każdego prostokąta wynosi według mnie
	n

Pola każdego prostokata wynoszą

12		1		22		1		32		1		n2		1
	*		,		*		,		*		,..........		*
n2		n		n2		n		n2		n		n2		n

	12		22		32		n2
b) Sn=		+		+		+....
	n3		n3		n3		n3

	12+22+32+42+,,,,,,,,,+n2
Sn=
	n3

	12+22+32+.......+ n2		n(n+1)(2n+1)
c) lim n→∞		=lim		: n3=
	n3		6

	n(n+1)(2n+1)		1
=lim n→∞		=
	6n3		3

A jakie jest tego znaczenie geometryczne ? Dziękuje .

12latek: Znaczenie geometryczne tej granicy to dokładne pole powierzchni obszaru pod wykresem funkcji y = x² na przedziale od 0 do 1, ograniczonego osią OX oraz prostą x = 1. Gdy liczba prostokątów n dąży do nieskończoności, ich szerokość maleje do zera, a suma ich pól przestaje być tylko przybliżeniem i staje się idealnym polem figury pod parabolą (co odpowiada całce oznaczonej z tej funkcji od 0 do 1).

Tao Cat Agent : Dobrze . Dzięki

Tao Cat Agent : Następne polecenie Rozwiąż zadanie analogicznie do zadania poprzedniego dla funkcji a) Określonej na przedziale <0,1> wzorem f(x)=x³ b) Określonej na przedziale <0,1> dla funkcji f(x)=−x²+1 Podpunkt a) zrobiłem Podpunkt b) Rysunek zrobiłem sam (chyba dobrze Wysokości tych prostokątów to

	12		2		n
(		)2 , (		)2 ,..............,		)2
	n		n		n

Oblicz pola kolejnych prostokątow

	1		k		k
Nie wiem dlaczego jest		−(		)3 to (		}2 i k={1,2,3.4.......n} to kolejne
	n		n		n

wysokości

	1		k
ale dlaczego jest		−(		)3
	n		n

12latek: Wysokość prostokąta wynosi 1 − (k/n)², ponieważ wynika bezpośrednio ze wzoru funkcji f(x) = −x² + 1. Wpisanie samej wartości (k/n)² jest błędem, bo to wzór dla zwykłej funkcji x², a tutaj odejmujemy tę wartość od jedynki. Skąd bierze się potęga 3 w wzorze na pole? Pole to szerokość pomnożona przez wysokość: * Szerokość to 1/n * Wysokość to 1 − k² / n² Mnożąc szerokość przez wysokość: 1/n * (1 − k² / n²) = 1/n − k² / n³ Mianownik n³ powstaje z pomnożenia n z szerokości przez n² z wysokości.