Twierdzenie Tao Cat Agent : 1^*)Wykonaj mnożenie (a−b)(aⁿ⁻¹ + (aⁿ⁻²*b) + (aⁿ⁻³*b²) + (aⁿ⁻⁴*b³ )+..... + (a²*bⁿ⁻³) + (a*bⁿ⁻²) + (bⁿ⁻¹) Po wykonaniu mnożenia będzie aⁿ−bⁿ Wszystko w środku po drodze będzie się upraszczać 2^*) Udowodnij twierdzenie (a>b>0 i n∊N ⇒n(a−b)*bⁿ⁻¹< aⁿ−bⁿ <n(a−b)*aⁿ⁻¹

12latek: Zadanie 1* Wykonujemy mnożenie nawiasów krok po krok: (a − b) * (aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² + ... + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) 1. Mnożymy drugi nawias przez a: aⁿ + aⁿ⁻¹b + aⁿ⁻²b² + ... + a²bⁿ⁻² + abⁿ⁻¹ 2. Mnożymy drugi nawias przez −b: −aⁿ⁻¹b − aⁿ⁻²b² − aⁿ⁻³b³ − ... − abⁿ⁻¹ − bⁿ 3. Sumujemy oba wyniki: Wszystkie środkowe wyrazy redukują się (zerują), zostaje tylko: aⁿ − bⁿ Zadanie 2* Założenia: a > b > 0 oraz n ∈ N Teza: n(a − b)bⁿ⁻¹ < aⁿ − bⁿ < n(a − b)aⁿ⁻¹ Dowód: Z Zadania 1 wiemy, że: aⁿ − bⁿ = (a − b) * (aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² + ... + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) Suma w drugim nawiasie składa się z n składników. Prawa strona: Ponieważ a > b, każdy składnik sumy jest mniejszy od aⁿ⁻¹: (aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + ... + bⁿ⁻¹) < n * aⁿ⁻¹ Mnożąc obie strony przez dodatnie (a − b), dostajemy: aⁿ − bⁿ < n(a − b)aⁿ⁻¹ Lewa strona: Analogicznie, każdy składnik jest większy od bⁿ⁻¹: (aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + ... + bⁿ⁻¹) > n * bⁿ⁻¹ Mnożąc obie strony przez dodatnie (a − b), dostajemy: n(a − b)bⁿ⁻¹ < aⁿ − bⁿ Po połączeniu obu stron otrzymujemy gotową tezę: n(a − b)bⁿ⁻¹ < aⁿ − bⁿ < n(a − b)aⁿ⁻¹

Tao Cat Agent : Dzięki Jedynkę tak właśnie zrobiłem w zeszycie