Newton i pewnie liczba e Tao Cat Agent : Zadanie nr 595^**)

	1
a) Zastosuj wzór Newtona do rozwinięcia an=(1+		)n i przekształć to wyrażenie do
	n

postaci

	1−1/n		(1−1/n)(1−2/n)		(1−1/n)(1−2/n)*.....*(1−((n−1)/n))
an=2+		+		+.....
	2!		3!		n!

	1
b)Podobnie rozwiń an+1=(1+		)n+1
	n+1

c) Udowodnij że ciąg a_n jest rosnący d) Na podstawie wzoru a) wykaż że

	1		1		1		1		1
⋀ n∊N an<2+		+		+		+.....+		+
	2!		3!		4!		(n−1)!		n!

e) Udowodnij że

	1		1
⋀k∊N i k>1		<
	k!		2k−1

f) Na podstawie d) e) i wzoru na S_n ciągu geometrycznego udowodnij że ⋀ n∊N a_n<3 g) Na podstawie c) i f) udowodnij że ciąg a_n jest zbieżny h) Oblicz kilka początkowych wyrazów ciągu a_n

	1
i) Na podstawie c) f) g) i h) wykaż że 2,4<lim n→∞(1+		)n<3
	n

12latek: A (1 + 1/n)ⁿ = (n po 0) + (n po 1)*(1/n) + (n po 2)*(1/n)² + ... + (n po n)*(1/n)ⁿ (n po 0) + (n po 1)*(1/n) = 1 + n*(1/n) = 2 Dla k >= 2: (n po k)*(1/n)^k = [n(n−1)...(n−k+1) / k!] * (1/n^k) = [1/k!] * (n/n) * ((n−1)/n) * ... * ((n−k+1)/n) = (1 − 1/n)(1 − 2/n)...(1 − (k−1)/n) / k! a_n = 2 + (1 − 1/n)/2! + (1 − 1/n)(1 − 2/n)/3! + ... + (1 − 1/n)...(1 − (n−1)/n)/n! B a₍n+1) = 2 + (1 − 1/(n+1))/2! + (1 − 1/(n+1))(1 − 2/(n+1))/3! + ... + (1 − 1/(n+1))...(1 − (n−1)/(n+1))/n! + (1 − 1/(n+1))...(1 − n/(n+1))/(n+1)! C Dla j >= 1: j/(n+1) < j/n => 1 − j/(n+1) > 1 − j/n Każdy składnik w a₍n+1) jest większy od odpowiadającego w a_n, a na końcu dochodzi wyraz > 0. a₍n+1) > a_n => ciag a_n jest ściśle rosnący. D Dla j >= 1: 1 − j/n < 1 a_n = 2 + (1 − 1/n)/2! + ... + (1 − 1/n)...(1 − (n−1)/n)/n! < 2 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! E Dla k > 1: k! = 1 * 2 * 3 * ... * k > 1 * 2 * 2 * ... * 2 = 2⁽k−1) k! > 2⁽k−1) => 1/k! < 1/2⁽k−1) F a_n < 2 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! < 2 + 1/2¹ + 1/2² + ... + 1/2⁽n−1) S = 1/2 + 1/4 + ... + 1/2⁽n−1) = (1/2) * [1 − (1/2)⁽n−1)] / (1 − 1/2) = 1 − (1/2)⁽n−1) < 1 a_n < 2 + 1 = 3 G a_n jest rosnący (z punktu c) oraz ograniczony z góry przez 3 (z punktu f). Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym: lim n−>∞ a_n istnieje (ciąg jest zbieżny). H a₁ = (1 + 1/1)¹ = 2 a₂ = (1 + 1/2)² = (3/2)² = 9/4 = 2.25 a₃ = (1 + 1/3)³ = (4/3)³ = 64/27 ≈ 2.37 a₄ = (1 + 1/4)⁴ = (5/4)⁴ = 625/256 ≈ 2.4414 I a₄ ≈ 2.4414 > 2.4 a_n rośnie => dla n >= 4: a_n >= a₄ > 2.4 => lim n−>∞ a_n > 2.4 a_n < 3 => lim n−>∞ a_n < 3 2.4 < lim n−>∞(1 + 1/n)ⁿ < 3

Tao Cat Agent : Dziękuję za ciężką pracę .