Dowód
Tao Cat Agent :
Udowodnij twierdzenie dla dowolnych a,b∊ℛ
Zrobiłem to tak
Dla dowolnych a i b
|a+b| zawsze nieujemna
a
2+b
2 zawsze nieujemne
Możemy więc podnieść obie strony strony nierówności do potęgi drugiej bez zmiany znaku
nierówności
| | |a+b| | |
( |
| )2≤(√a2+b2}{2}})2⇔ |
| | 2 | |
| | (a+b)2 | | a2+b2 | |
⇔ |
| ≤U{ |
| ⇔ / *(4) |
| | 4 | | 2 | |
⇔(a+b)
2≤2(a
2+b
2)⇔
⇔a
2+2ab+b
2≤2a
2+2b
2
−a
2+2ab−b
2≤0⇔ (mnoże obie strony nierówności przez (−1) więc zmieniam zwrot nierówności
⇔a
2−2ab+b
2≥0 ⇔
⇔(a−b)
2≥0
Wykonując ciąg równoważnych przekształcen otrzymałem nierówność prawdziwą a to oznacza że
nierówność wyjściowa tez jest prawdziwa
Natomiast do tego przykładu mam taką wskazówkę
a
2+b
2≥2ab więc 2a
2+2b
2≥(a+b)
2
Gdzie ją wykorzystać?
23 lip 12:48
Tao Cat Agent :
Takie samo polecenie
(a2−b2)2≥4ab(a−b)2⇔
⇔a4−2a2b2+b4≥4ab(a2−2ab+b2)⇔
⇔a4−2a2b2+b4≥4a3b−8a2b2+4ab3⇔
⇔a4+6a2b2−4a3b−4ab3+b4≥0⇔
⇔(a−b)4≥0
Otrzymałem nierównośc prawdziwą wiec prawdziwa tez jest nierównośc wyjściowa
Znowu wskazówka do zadania :
a2−2ab+b2=a2+2ab+b2−4ab
Jak to wykorzystać?
23 lip 13:12
ite:
Przekształcam wskazówkę do postaci
(a−b)2+4ab =(a+b)2
Wykorzystuję ją do zapisania lewej strony nierówności z tezy:
(a2−b2)2=(a−b)2*(a+b)2=(a−b)2*[(a−b)2+4ab]=(a−b)4+4ab(a−b)2
Skoro dla każdego a,b∊ℛ
(a−b)4≥0
to również
(a2−b2)2−4ab(a−b)2≥0
stąd
(a2−b2)2≥4ab(a−b)2
c.n.d.
23 lip 14:15
Tao Cat Agent :
Dzień dobry
Dziękuję
23 lip 14:20
ite: Dzień dobry!
Wskazówka: 2a2+2b2≥(a+b)2≥0
Mogę spierwiastkować stronami:
√2a2+2b2≥√(a+b)2
Korzystam z własności wartości bezwzględnej: dla każdego x∊ℛ zachodzi równość √x2=|x|
√2a2+2b2≥|a+b|
Pozostaje podzielenie stronami przez 2 i otrzymuję tezę.
23 lip 14:38
Tao Cat Agent :
Problem w tym
ite że to autor daje wskazówki
Ja bym na to nie wpadł
Zaraz pójdziemy z wnukiem trochę popracować
23 lip 14:50
ZKS:
Wychodząc od prawdziwej nierówność otrzymujemy:
(a − b)
2 ≥ 0
a
2 + b
2 ≥ 2ab
a
2 + a
2 + b
2 + b
2 ≥ a
2 + 2ab + b
2
2a
2 + 2b
2 ≥ (a + b)
2
23 lip 16:43