Rozwinięcia Newtona Tao Cat Agent : Zadanie . a)Rozwiń wyrażenie (1+x)²ⁿ według wzoru Newtona na potęgę dwumianu b) Jaki współczynnik otrzymasz przy xⁿ mnożąc każdy wyraz rozwinięcia (1+x)ⁿ przez każdy wyraz rozwinięcia (x+1)ⁿ c) Porównując współczynniki przy xⁿ w wyrażeniach a) i b) znajdz wzór na sumę

	n 0		n 1		n 3		n n−1		n n
Sn=		2+		2+		2+......		2+		2

a)

	2n 1		2n 2		2n 3		2n n
(1+x)2n=1+		x+		x2+		x3+........		*xn+........

	2n 2n−1		2n 2n
+		x2n−1+		*x2n

b)

	n 1		n 2		n 3		n 4		n n−1
(1+x)n=1 +		x +		x2 +		x3 +		x4+...... +		n−1 +

	n n
		*xn

	n 1		n 2		n 3		n n−1
(x+1)n=xn +		*xn−1 +		*xn−2+		*xn−3+....		*x+1

Tao Cat Agent :

n 0		n 0		n 0
	*1 *		xn =(		)2*xn

n 1		n 1		n 1
	x*		xn−1= (		)2* xn

n 2		n 2		n 2
	x2*		xn−2=(		)2* xn

n 3		n 3		n 3
	x3*		xn−3=(		)2*xn

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n n		n n		n n
	xn*		*1 =(		)2xn

Po wymnożeniu każdy z każdym będą takie współczynniki przy x_n

	n 0		n 1		n 2		n n
(		)2+(		)2+(		)2+..........+(		)2

c) (1+x)ⁿ*(x+1)ⁿ=(1+x)ⁿ⁺ⁿ=(1+x)²ⁿ stąd suma współczynników przy jednakowych potęgach wynosi

n 0

n 1

n 2

n 3

n n

2n n

Sn=(

)2+(

)2+

)2+(

)2+.........(

)2=