Wielomiany Tao Cat Agent : Jest tak np. Znajdz wielomian (x+1)*W(x+1) dla W(x)=x²−x+2 Ile on ma pierwiastków? To proste bo mam podany W(x) Ale nie bardzo rozumiem to Zadanie nr 28 Znajdz wszystkie wielomiany W spełniające (przy każdym x) równanie a) W(x)=W(x+1) b) W(2x)=2W(x) Również to Zadanie nr 30 Znajdz wszystkie wielomiany W spełniające (przy każdym x) równanie x(W(x−1)=(x−2)W(x)

12latek: 28 a) Równanie W(x) = W(x+1) Wstawiając kolejne liczby, widzimy, że: W(0) = W(1) = W(2) = W(3) = W(4) i tak dalej. Wielomian musiałby mieć tę samą wartość dla nieskończenie wielu punktów. Jedynym wielomianem, który tak potrafi, jest funkcja stała. W(x) = c (gdzie c to dowolna stała liczba) b) Równanie W(2x) = 2W(x) Równanie mówi, że gdy podwoimy "iksa", to wynik całego wielomianu też musi się dokładnie podwoić. Zobaczmy, jak zachowują się poszczególne potęgi, gdy zamiast x wstawimy 2x: Dla x: otrzymujemy 2x (wynik rośnie 2−krotnie) – pasuje Dla x²: otrzymujemy (2x)² = 4x² (wynik rośnie aż 4−krotnie) – za szybko Dla x³: otrzymujemy (2x)³ = 8x³ (wynik rośnie aż 8−krotnie) – za szybko Wyższe potęgi rosną zbyt gwałtownie przy podwojeniu iksa. Jedyną pasującą opcją jest sam x w pierwszej potędze. W(x) = ax (gdzie a to dowolna liczba)

12latek: 30 x * W(x − 1) = (x − 2) * W(x) Szukamy wartości, dla których wielomian musi się zerować (jego pierwiastków). Wstawmy do równania x = 0: 0 * W(−1) = (0 − 2) * W(0) 0 = −2 * W(0) Stąd otrzymujemy: W(0) = 0 Wstawmy do równania x = 2 (żeby wyzerować prawą stronę): 2 * W(1) = (2 − 2) * W(2) 2 * W(1) = 0 * W(2) 2 * W(1) = 0 Stąd otrzymujemy: W(1) = 0 Czy są kolejne pierwiastki? Wstawmy do równania x = 1: 1 * W(0) = (1 − 2) * W(1) Ponieważ wiemy już, że W(0) = 0 oraz W(1) = 0, otrzymujemy 0 = 0. To nie daje nam nowych informacji ani kolejnych pierwiastków. Skoro wielomian zeruje się dla x = 0 oraz x = 1, musi mieć w sobie czynniki x oraz (x − 1). Zapisujemy go jako: W(x) = x * (x − 1) * P(x), gdzie P(x) to reszta wielomianu. Podstawmy tę postać do naszego głównego równania: x * [ (x − 1) * (x − 2) * P(x − 1) ] = (x − 2) * [ x * (x − 1) * P(x) ] Po obu stronach mamy dokładnie te same nawiasy: x * (x − 1) * (x − 2). Możemy je skrócić i zostaje nam: P(x − 1) = P(x) Z podpunktu a) wiemy już, że jedynym wielomianem spełniającym takie równanie jest funkcja stała (oznaczmy ją jako dowolna liczba "a"). Zatem P(x) = a. W(x) = a * x * (x − 1) (gdzie "a" to dowolna liczba rzeczywista)

Tao Cat Agent : Bardzo dziękuję za wyjaśnienie . Dziękuję również za ciężka prace