Dowód Tao Cat Agent : Dany jest kąt A Załóżmy że ramiona tego kąta zostały przecięte dwoma prostymi równoległymi do siebie k i l Na jednym ramieniu kąta otrzymaliśmy na wskutek tego odcinki AC,AB.i BC zaś na drugim odpowiednio : AC₁, AB₁ i BC₁ Udowodnimy że każda para odcinków leżących na jednym ramieniu kąta jest proporcjonalna do odpowiedniej pary odcinków leżących na drugim ramieniu Twierdzenie. Jeżeli ramiona kąta przeciąć dwiema prostymi równoległymi to wyznaczą one na ramionach tego kąta odcinki odpowiednio proporcjonalne Założenie k II l

	AC		AC1
Teza		=
	AB		AB1

Dowód Załóżmy że odcinki AC i AB są współmierne i ich wspólną miara jest pewien odcinek który na odcinku AC odkłada się (m razy) a na odcinku AB (n razy) Na rysunku wspólna miara mieści się w odcinku AC 9 razy a w odcinku AB 6 razy Jeśli więc odłożymy te wspólną miare na obu odcinkach AC i AB i przez otrzymane punkty podziału wykreślimy proste równoległe do prostych k i l to zgodnie z twierdzeniem o podziale odcinka na kilka równych części odcinki AC₁ i AB₁ podzielone zostaną również na taką samą liczbę (m i n ) równych miedzy sobą części Wynika stąd że ż

AC		M		AC1		m
	=		i		=
AB		n		AB1		n

Wobec tego

AC		AC1
	=
AB		AB1

mamy tezę . W ten sam sposób możemy udowodnić że prawdziwe są również proporcje

AB		AB1		BC		B1C1
	=		i		=
BC		BC1		AC		AC1

Twierdzenie to jest słuszne również w tym przypadku gdy jedna z prostych równoległych np prosta k nie przetnie ramiona kąta A ale ich przedłużenia tak że wierzchołek A znajduje śie między prostymi k i l Jak udowodnić to twierdzenie w tym przypadku ?

misia: 1/ Δ ACC₁∼ ΔABB₁ z cechy (kk)

	|AC|		|AC1|
		=
	|AB|		|AB1|

2/ analogicznie ..........

Tao Cat Agent : Dziękuje misia Własnie czytam o tym twierdzeniu. i odwrotnym do niego