Wielomiany Erche: Takie dwa zadania Zadanie nr 166

	−p
a) Jaki związek zachodzi miedzy p i q jesli istnieje taka liczba m, że m2=		i
	3

	q
m3=		?
	2

b) Udowodnij że jesli liczba m jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x³+px+q to

	q2		−p3
3m2+p=0 i		+		=0
	4		27

c) Dla jakiej wartości q wielomian W(x)=x³−6x+q=0 ma pierwiastek dwukrotny oblicz ten pierwiastek i rozłóż wielomian na czynniki Zadanie nr 167 Współczynniki a,b,c,d wielomianu W(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d sa liczbami całkowitymi nieparzystymi Udowodnij ze ten wielomian nie ma pierwiastka całkowitego Załóżmy że x∊Z 1) x jest nieparzyste wtedy x⁴ , x³ , x² jest nieparzyste Wtedy a*x³ , b*x² i c*x jest nieparzyste jako iloczyn dwóch liczb nieparzystych x⁴ i d sa również nieparzyste Stąd suma pięciu liczb nieparzystych jest rożna od zera 2) x jest parzyste wtedy x⁴, x³ i x² jest parzyste Wtedy a*x³ b*x² i c*x jest parzyste jako iloczyn liczby nieparzystej i parzystej d jest nieparzyste Stąd wniosek że suma czterech liczb parzystych i jednej nieparzystej jest rózna od zera , zadanie nr 166c) W(x)=x³−6x+q=0

(−6)3		q2
	+		=0
27		4

	216		q2
U−		+		=0
	27		4

q2
	−8=0
4

q²=32 q₁=4√2 lub q₂=−4√2 3m²+p=0 3m²−6=0 m²=2 m₁=√2 lub m₂=−√2 Dla q=4√2 wyszło mi ze x₁=√2−dwukrotny i x₂=−2√2 Dla q=−4p[2} wyszło mi ze x₁=−√2 dwukrotny i x₂=2√2 natomiast do a i b ) prosiłbym o pomoc w obliczeniach . Dziekuję

Servantes: a) m² = −p/3 m³ = q/2 Podnosimy pierwsze równanie do potęgi 3, a drugie do kwadratu, aby w obu uzyskać m⁶: (m²)³ = (−p/3)³ => m⁶ = −p³ / 27 (m³)² = (q/2)² => m⁶ = q² / 4 Przyrównujemy obie wartości m⁶ do siebie: −p³ / 27 = q² / 4 Przenosimy wszystko na jedną stronę i otrzymujemy związek: q²/4 + p³/27 = 0 b) Skoro m jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ + px + q, to zachodzi: 1. W(m) = 0 => m³ + pm + q = 0 2. W'(m) = 0 => 3m² + p = 0 (co dowodzi pierwszej części tezy) Z drugiego równania wyznaczamy: p = −3m². Wstawiamy to do pierwszego równania: m³ + (−3m²)*m + q = 0 m³ − 3m³ + q = 0 −2m³ + q = 0 => q = 2m³ Teraz obliczamy wartości składników drugiego równania : p³ / 27 = (−3m²)³ / 27 = −27m⁶ / 27 = −m⁶ q² / 4 = (2m³)² / 4 = 4m⁶ / 4 = m⁶ Dodajemy oba składniki: q²/4 + p³/27 = m⁶ + (−m⁶) = 0 To kończy dowód, ponieważ q²/4 + p³/27 = 0.

Erche: Dziękuje za pomoc