planimetria gtxxx47: W trójkącie ostrokątnym ABC z wierzchołka C poprowadzono wysokość CD przecinającą bok AB w punkcie D. Okrąg O₁ o średnicy AD przecina bok AC w punkcie E różnym od A. Okrąg O₂ o średnicy BD przecina bok BC w punkcie F różnym od B. Proste EF i AB przecinają się w punkcie P. Wykaż, że czworokąt CEDF można wpisać w okrąg. Wykaż, że |PA|∙|PB|=|PD|².

.: a gdzie są środki tych okręgów

Eta: 1/ Kąty wpisane oparte na średnicach AD i DB mają miary po 90^o to kąty DEC i DFC czworokąta DECF też mają miary po90^o to sumy miar kątów przeciwległych w czworokącie DECF mają po 180^o więc na czworokącie DECF da się opisać okrąg. c.n.w. 2/ teza : |PA|*|PB|=|PD|² z tw. o siecznych : |PA|*|PB|=|PE|*|PF| i z tw. o stycznej i siecznej : |PE|*|PF=|PD|² więc |PA|*|PB|=|PD|² c.n.w. Wreduśny : a gdzie niby są środki (skoro AD i DB to średnice )

V. : Który okrag przecinasz siecznymi?

Mila: wg mnie tw. o siecznych : |PA|*|PB|=|PE|*|PF| jest zastosowane do okręgu opisanego na czworokącie ABFE. Trzeba wykazać , że |∡ABF|+|∡AEF|=180^o. Czy Eta miała inny pomysł?

Eta: W okręgu opisanym na czworokącie AEFB sieczne to: AB i EF Wykazuję, że na czworokącie AEFB też można opisać okrąg ( nie rysuję ponownie rys. bo źle się zaznacza greckie litery ) Wyjaśniam : |∡EAB|=α = |∡CDE| i |∡CDE|= |∡CFE|=α −− jako kąty wpisane (w czarnym okręgu) oparte na łuku CE więc |∡BFE|= 180^o−α zatem suma katów przeciwległych w czworokącie AEFB jest równa 180^o a to oznacza ,że na czworokacie ABFE też można opisać okrąg więc z tw. o siecznych w tymże okręgu masz to co zapisałam poprzednio: i po ptokach

gtxxx47: dzięki