Kule i woda Erche: Dno naczynia jest poziome Naczynie ma kształt walca o promieniu podstawy równym (a) Do naczynia włożono kulkę metalową o promieniu (r)i nalano tyle wody że jej powierzchnia jest styczna do tej kuli. 1^*) Wykaż że przy niezmienionęj ilości wody można by do tego naczynia włożyć kulkę o pewnym promieniu r₁≠rtakim że warunki zadania były by też spełnione.

	r
2*) Dla jakich wartości stosunku		jest r1>r?
	a

J: Wrzuć na AI to Ci rozwiąże Kto by się katował rachunkami

Erche: Az takie ciężkie są?

J: To są zadania ze zbiorków sprzed pół wieku Powodzenia

.: V −−− objętość samej wody

	4
V = 2πa2*r −		πr3
	3

	4
V = 2πa2*r1 −		πr13
	3

zróbmy funkcję V(r) z parametrem 'a'. Oczywiście a>0 oraz r>0.

	4
V(r) = 2πa2*r −		πr3
	3

	a√2
V'(r) = 2πa2 − 4πr2 = 2π(a2 − 2r2) −−−> punkt krytyczny r =
	2

	a√2
V''(r) = 8πr −−−> punkt krytyczny r = 0 −−−> dla r =		funkcja V(r) przyjmuje
	2

ekstremum lokalne To pokazuje, że ISTNIEJĄ takie r ≠ r₁, że V(r) = V(r₁) ... ale: To nie oznacza, że dla DOWOLNEGO r istnieje takie r₁, że V(r) = V(r₁) Ponieważ: V(0) = 0

	2
V(a) =		πa3
	3

	a√2		2
czyli dla r < ra <		, gdzie V(ra) =		πa3 nie będzie istniało takie r1.
	2		3

	a√2
dodatkowo, dla r =		także takie r1 nie będzie istniało.
	2

O ile to zadanie nie miało wcześniej jakiś podpunktów, z których wynika, że r NIE JEST (ale o tym nie zostaliśmy tutaj poinformowani) w którymś z tych dwóch przypadków, to teza z (1*) jest tutaj obalona

	√3−1
PS. możesz wyliczyć dodatkowo, że ra =		a
	2

.: a co do (2*).

r		√3−1		√2
	∊ [		;		)
a		2		2

pierwsza to granica dla której w ogóle to r₁ będzie istnieć drugą wskazuje ekstremum lokalne funkcji V(r)

Erche: Dobrze. Dziękuje za pomoc