Trójkąt prostoątny Erche: W trójkącie ABC kąt C jest 90^o ,AC=b i BC=a M∊BC MB jest średnią arytmetyczną AM i MC . Podaj warunek rozwiązalności zadania i liczbę rozwiązań AM=y MC=x MB=a−x a>0 b>0 i x>0

	y+x
{		=a−x
	2

{y=√b²+x² {y+x=2(a−x) {y=√b²+x² y+x=2a−2x y=2a−3x √b²+x²=2a−3x /²

	2
b2+x2=(2a−3x)2 i musi być 2a−3x>0 to 2a>3x to 3x<2a to x<		a ale jest x>0
	3

	2
to x∊(0,		a)
	3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− b²+x²=(2a−3x)² b²+x²=4a²−12ax+9x² −8x²+12ax+b²−4a²=0 /*(−1) 8x²−12ax−b²+4a²=0 Δ=(−12a)²−4*8*(−b²+4a²) Δ=144a²+32b²−128a² Δ=16a²+32b²=16(a²+2b²) √Δ=√16(a²+2b²)=4√a²+2b²

	12a−4√a2+2b2
x1=
	16

	3a−√a2+b2		2
x1=/div>		i 0<x<		a
	4		3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	12+4√a2+2b2
x2=
	16

	3a+√a2+2b2		2
x2=		i 0<x<		a
	4		3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	3a−√a2+2b2
1) x=		>0
	4

3a−√a²+2b>0 3a>√a²+2b² /² 9a²>a²+2b² i mam tutaj warunek że b<2a Według mnie on bierze się stad ze mamy wtedy 8a²>2b² czyli 4a²>b² stąd b<2a stad

	3a−√a2+2b2		3a−a		2
x=		<(		) Dlaczego tak bo nie bardzo wiem <		a −to
	4		4		3

rozumiem bo to jest warunek dla każdego a>0

	3a−√a2+2b2
Stąd mamy że x=		dla b<2a .
	4

Natomiast dla b≥2a nie mamy rozwiązań

	3a+√a2+2b2
2) x=		>0
	4

3a+√a²+2b²>0 3a>−√a²+2b² to jest zawsze większe od a dla każdego a>0 czyli

	2
Sprzeczne z warunkiem x∊(0,		a)
	3