Okrąg i prostokąt Erche: Dany jest okrąg o promieniu (r) i taki prostokąt ABCD że A i B należą do tego okręgu zaś bok CD jest do tego okręgu styczny a)Oblicz boki tego prostokąta wiedząc że obwód jest równy 6r b) Oblicz boki tego prostokąta wiedząc że jego obwód jest równy 4r c) Znajdz największa wartość k dla której zadanie ma rozwiązanie i obwód prostokąta jest równy kr . Oblicz długości boków prostokąta dla tej wartości k .Wykonaj odpowiednie rysunki Rysunki mam Więc AB=CD=x+x=2x BC=DA=y I także x≤r i y<2r i k>0 Jest taka wskazówka : W każdym przypadku jest (y−r)²+x²=r² Dla przypadku a) to rozumiem natomiast dla przypadku b i c to nie bardzo Na razie żeby dobrze zrozumieć rysunki a obliczenia to zrobię Dziękuję za pomoc

ite: Napisałabym że 0<x≤r oraz 0<y<2r . Czy w przypadku b i c niejasna jest zależność (y−r)²+x²=r², czy w ogóle szukanie rozwiązania?

ite: Dla przypadku a czyli obwód prostokąta równy 6r ten najniższy rysunek nie jest jedynym rozwiązaniem, trzeba obliczyć jeszcze drugą możliwą parę rozwiązań.

Erche: Przepraszam że tak pózno odpisuje ale dopiero wróciłem do domu. Zależnośc nie bardzo jasna

ite: Zależność (y−r)²+x²=r² można odczytać z ΔSFB. Trójkąt jest prostokątny, więc można w nim zastować tw.Pitagorasa.

ite: W sytuacji takiej jak na pierwszym rysunku będziemy analizować trójkąt prostokątny położony "pod" czerwonym prostokątem. Jedną z przyprostokątnych trójkąta będzie wtedy nie y−r ale r−y. Żeby zapis mógł stać się uniwersalny wystarczy użyć w nim wartości bezwzględnej |y−r|. Otrzymamy wtedy (|y−r|)²+x²=r² co jest równe (y−r)²+x²=r².

Erche: ite ja tą wartość bezwzględną rozumiem . Proszę jeszcze w miare możliwości napisać jak bedzie w c) na rysunku. Serdeczne dzięki

ite: c) Tu już trzeba wyliczyć największą wartość k, przy której zadanie będzie mieć rozwiązanie. Obliczamy obwód czerwonego prostokąta i zapisujemy warunek z zadania, że obwód tego prostokąta jest równy kr. 4x+2y=kr Mamy dwie niewiadome x i y, więc dołączamy kolejną zależność miedzy tymi niewiadomymi: (y−r)²+x²=r² I otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, danym promieniem r i parametrem k .

⎧	4x+2y=kr
⎩	(y−r)2+x2=r2

Jutro wpiszę rozwiązanie i analizę tego układu, chyba że ktoś będzie miał czas wcześniej i to zrobi. a) dla danych z punktu a układ wygląda tak:

⎧	4x+2y=6r
⎩	(y−r)2+x2=r2

i ma dwa rozwiązania https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Solve%5C%2891%29%7BPower%5B%5C%2840%29y%E2%88%92r%5C%2841%29%2C2%5D%2BPower%5Bx%2C2%5D%3DPower%5Br%2C2%5D+%2C4+x%2B2+y+%3D6*r%7D%5C%2893%29

Erche: Będziemy mieli wtedy taki układ {y−r)²+x²=r² {4x+2y=k*r {(y−r)²+x²=r²

	kr
{2x+y=
	2

	kr
{2x=		−y
	2

{(y−r)²+x²=r²

	kr−2y
(1*)x=
	4

============

	kr−2y
(y−r)2+(		)2=r2
	4

	k2r2−4ykr+4y2
y2−2yr+r2+		=r2 /*16
	16

16y²−32yr+16r²+k²r²−4ykr+4y²=16r² 20y²−32yr−4ykr+k²r²=0 (2^*)20y²−4yr(k+8)+k²r²=0 =================== Mamy taki układ

	kr−2y
{x=
	4

{20y²−4yr(k+8)+k²r²=0 k=6

	6r−2y		3r−y
x=		=
	4		2

20y²−4yr(14)+36r²=0 20y²−56yr+36r²=0 /:4 5y²−14yr+9r²=0 Δ=196r²−180r²=16r² √Δ=4r

	14r−4r
y1=		=r
	10

	3r−r
x1=		=r spełnia warunki zadania
	2

lub

	14r+4r		18r		9
y2=		=		=		r
	10		10		5

	3r−1,8r		3
x2=		=		r spełnia warunki zadania
	2		5

Dla k=6 prostokąt ma wymiary AB=CD=2r BC=AD=r lub

	3		6		9
AB=CD=2*		r=		r BC=AD=		r
	5		5		5

Tak samo policzę dla k=4 i potem policzę c)

Erche: ite A jak zrobić rysunek do c) tam gdzie 2x=AB (gdzie AB jest średnica tego okregu zeby zapisać ten układ?

Erche: Do c) jest 20y²−4ry(k+8)+k²r²=0 jak policzyć delte żeby wyznaczyć k? W odpowiedzi mam że 2−2√5≤k≤2+2√5

ite: Mamy rozwiązać równanie 20y²−4ry(k+8)+k²r²=0. Porządkujemy zapis 20*y²−4r(k+8)*y+k²r²=0, otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na y, gdzie a=20, b=−4r(k+8), c=k²r². Deltę liczymy normalnie wg wzoru b²−4ac. Żeby równanie z 19:19 miało rozwiązanie, musi być spełniony warunek Δ≥0

ite: Jeśli chodzi o pytanie z 17: 25, to jeżeli 2x=|AB| i jest średnicą, więc 2x=2r, stąd x=r. Wtedy (y−r)²+x²=r² ma postać (y−r)²+r²=r² czyli (y−r)²=0, stąd y−r=0 i y=r . Więc obwód prostokąta wynosi 4*r+2*r=6*r i widać, że k=6. Do tej wartości k jest już rysunek, ten najniżej. Ta odpowiedź, którą podajesz 19:19, to jest do jakiego polecenia?

Erche: Dużo liczenia ale wyszło najwieksza wartość k=2+2√5

	5r+√5r		r(5+√5		2√5
Wtedy wyszło mi że y=		=		i x=
	5		5		5

	4√5		r(5+√5
Więc AB=CD=2x=		i BC=AD=
	5		5

Dziękuję za pomoc . Mam jeszcze pare problemów . Ale to juz jesli pozwolisz to jutro

Erche: Ta podpowiedz była do c)

ite: Podpowiedź do c) z 19:19 jest dla mnie niezrozumiała: co prawda równanie 20*y²−4r(k+8)*y+k²r²=0 ma dla 2−2√5≤k≤2+2√5 przynajmniej jedno rozwiązanie dodatnie (y jest długością boku prostokąta), ale równanie 4x+2y=kr dla 2−2√5<k≤0 nie będzie mieć sensu. Czy ja gdzieś robię błąd w tym rozumowaniu?

Erche: Dzień dobry Do c) podpowiedz w zbiorze zadań jest taka 20y²−4ry(k+8)+k²r²=0

1
	Δ=4r2(−k2+4k+16)
16

Δ≥0⇔2−2√5≤k≤2+2√5 Ja to liczyłem delte inaczej i wyszło mi to samo (tylko ze sie wiecej oliczyłem) Odpowiedz: Największa wartość k dla której zadanie jest rozwiązalne k=2+2√5 i podane wymiary prostokąta które policzyłem