szescian Conffetta: W sześcianie wykonano trzy cięcia: jedno równoległe do przedniej ściany, jedno równoległe do ściany bocznej i jedno równoległe do górnej ściany. W wyniku tych cięć sześcian został podzielony na osiem prostopadłościanów. Uzasadnij ze objętości tych ośmiu brył nie mogą być w stosunku 1:2:3:4:5:6:7:8?

.: Moja propozycja. Dowód NIEWPROST oznaczmy: a −−− długość boku x , y , z −−−− odległość 'cięcia' od danej ściany w danej płaszczyźnie. wtedy prostopadłościany będą miały wymiary: xyz xy(a−z) x(a−z)z x(a−y)(a−z) (a−x)yz (a−x)y(a−z) (a−x)(a−y)z (a−x)(a−y)(a−z) bez utraty ogólności możemy przyjąć możemy przyjąć, żę xyz = min(V_{tych prostopadłościanów} (innymi słowy: x ≤ a−x ; y ≤ a−y ; z ≤ a−z) oznaczmy:

	a−x		a−y		a−z
p =		; q =		; r =		; gdzie p,q,r ≥ 1
	x		y		z

podzielmy teraz te wszystkie objętości przez 'najmniejszą objętość' czyli przez xyz i otrzymamy w wyniku następujące wartości: 1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr skoro te objętości prostopadłościanów mają trzymać proporcję: 1:2:3:4:5:6:7:8 to po podzieleniu przez najmniejszą objętość ... proporcja ta musi zostać zachowana. I teraz: wiedząc, że p, q, r > 1 wiemy, że p ≤ pq oraz q ≤ pq ... analogicznie pozostałe kombinacje. Znowu ... bez utraty ogólności przyjmijmy, że p<q<r ... w takim razie: p = 2 ; q = 3 ; r = 4 I szybko zauważamy, że 'się nie zgadza'. Sprzeczność.

.: Ciekawszym rozwiązaniem (ale trudniejszym do 'ogarnięcia' byłoby: Dowód NIEPROST. Te same oznaczenia. 1. ∏_i=1⁸ V_i = [ x(a−x)y(a−y)z(a−z) ]⁴

.: jednak nie ... pośpieszyłem się ale wracając do mojej pierwotnej wersji ... można trochę bardziej 'matematycznie' zrobić wykazywanie. po podzieleniu przez najmniejszą objętość otrzymujemy: 1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr zauważmy, że 1 * pqr = p * qr = q * pr = r * pq czyli wartość 1*w (gdzie w∊ {2,3,4,5,6,7,8}) powinna być możliwa do rozpisania na trzy inne sposoby korzystając z liczb ze zbioru {2,3,4,5,6,7,8}. w ≠ 2 , w≠ 3 , w≠5 , w≠7 −−− bo to liczby pierwsze zostaje zatem: 1. w = 4 −−−> wtedy 1*4 = 4 −−−> 2*? = 4 oraz 3* ? = 4 a później mamy za duże liczby −−− odpada 2. w = 6 −−−> wtedy 1*6 = 6 −−−> 2*3 = 6 super ... 4*? = 6 oraz 5*? = 6 a później znowu za duże liczby −−− odpada 3. w = 8 −−−> wtedy 1*8 = 8 −−−> 2*4 = 8 super ... 3*? = 8 ; 5*? = 8 ; 6*? = 8 ; 7*? = 8 −−− odpada