Pierwiastki wielomianu Link Tu: 1) Dla jakich wartości parametru m b i k wielomiany x³−12x+k oraz (x−m)²(x+b) sa równe ? 2) Dla jakiej wartości k wielomian x³−12x+k ma pierwiastek dwukrotny? 1) (x−m)²(x+b)= (x²−2xm+m²)(x+b)= x³+x²b−2x²m−2xmb+m²x+m²b= = x³+(b−2m)x²+(m²−2mb)x+m²b Z porównania współczynników {b−2m=0 {m²−2mb=12 {m²b=k {b=2m {m²−2m*2m=12 {m²*2m=k {b=2m {m²−4m²=12 {2m³=k −3m²=12∊∅ Natomiast w odpowiedzi do 1) mam k=16 b=4 m=2 lub k=−16 b=−4 m=−2

ite: 2) Dołączam link do apletu, który po uruchomieniu (przycisk w lewym dolnym rogu) daje wskazówkę, kiedy ten wielomian będzie mieć pierwiastek dwukrotny. https://www.geogebra.org/m/g2gjvcce

Link Tu: Dziekuje ite Jednak dalej nie wiem jak to obliczyć . Problem polega na tym że gdy porównywało sie dwa wielomiany to zawsze wyraz wolny był z góry okreslony a tutaj tak nie jest

Saizou : masz błąd w pierwszym układnie m²−2mb = − 12

Link Tu: No tak. Wtedy jest dobrze A do nr 2) jak podejść ?

ite: zad.2 Podany wielomian będzie mieć pierwiastek dwukrotny albo jeśli maximum lokalne będzie wynosić 0 albo jeśli minimum lokalne będzie wynosić 0. Czyli wykres musi być położony tak, że albo osią OX będzie granatowa prosta albo − w drugim przypadku − osią OX będzie zielona prosta. Czy udało mi się to pokazać na tym rysunku?

ite: Mój sposób będzie wykorzystywać licznie f.pochodnej, nie wiem, czy ten materiał masz już opanowany. Jak nie, to ten sposób nie będzie przydatny.

kolt: w(x) = (x − a)²(x − b). Po wymnożeniu otrzymujemy w(x) = x³ − (2a + b)x² + (a² + 2ab)x − a²b. Porównując współczynniki z wielomianem x³ − 12x + k 2a + b = 0 a² + 2ab = −12 −a²b = k Z pierwszego równania: b = −2a. Podstawiamy do drugiego: a² + 2a(−2a) = −12 a² − 4a² = −12 −3a² = −12 a² = 4 a = 2 lub a = −2. Dla a = 2: b = −4 k = −a²b = −4 · (−4) = 16. Dla a = −2: b = 4 k = −a²b = −4 · 4 = −16. Zatem wielomian ma pierwiastek dwukrotny dla: k = 16 lub k = −16.

Link Tu: Dziękuje za pomoc i poświęcony czas

.: Link Tu ... zauważ, że (2) de facto jest lekko uproszoną wersją (1). w (2) masz wyznaczyć (tylko) parametr k ... taki dla którego W(x) = x³ − 12x + k można zapisać jako: W(x) = (x−m)²*(x+b) gdzie zielona część wskazuje nam, że wielomian W(x) ma wielomian podwójny (patrz −> ²). Tak więc, po rozwiązaniu (1) piszemy ... na mocy obliczeń wykonanych w zad 1. odpowiedzią będzie k=−16 i k=16

Link Tu: Witam i dzięki