Wielomiany symetryczne Link Tu: Wyznacz tak liczbę n , n∊N aby wielomian W(x,y) = 2x⁴+3x³y+nx²y²+3xy³+2y⁴ można było rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych P(x,y) iQ(x,y) o współczynnikach całkowitych Wskazówka : Zbadaj przypadki 1) st P(x,y)=1 2) st P(x,y)=2

.: 1. Wielomian W(x,y) jest wielomianem SYMETRYCZNYM −−−− spełniony warunek KONIECZNY, aby można było go rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych 2. Wielomian W(x,y) jest stopnia 4 ... związku z tym mamy trzy opcje: I. Wielomiany będą stopnia 0 i 4. II. Wielomiany będą stopnia 1 i 3. III. Wielomiany będą stopnia 2 i 2. (stąd ta wskazówka) −−−− Uwaga −−− we wskazówce odrzucono 'I' ponieważ 2 nie dzieli 3. 3. Więc zapisujemy: II. P(x,y) = ax + ay ; Q(x,y) = bx³ + cx²y + dxy + cxy² + bx³ III. P(x,y) = ax² + bxy + ay² ; Q(x,y) = cx² + dxy + cy² I dla każdego z przypadków −−− wymnażamy wielomiany i sprawdzamy dla jakiego 'n' będzie się zgadzać. Dla ułatwienia w III można przyjąć a = 2 ; c = 1 −−− mniej niewiadomych będziesz miał przed pierwszym mnożeniem. Można też w I zrobić dwa podpunkty: a = 2 ; b = 1 oraz a = 1 i b = 2 −−− ale czy to uprości zadanie (łatwiejsze mnożenie, ale masz dodatkowy przypadek do rozpatrzenia) ?

Link Tu: Serdeczne dzieki

Link Tu: Czyli dla II zrobiłem tak W(x,y)=P(x,y)*Q(x,y) W(x,y)=(ax+ay)*(bx³+cx²y+dxy+cx²+bx³)= =abx⁴+abx³y+abxy³+aby⁴+acx³y+2acx²y²+acxy³+adx²y+adxy²= =abx⁴+(ab+ac)x³y+2acx²y²+(ab+ac)xy³+adx²y+adxy²+aby⁴ Mam wielomian do porownania W(x,y)=2x⁴+3x³y+nx²y²+3xy³+2y⁴ Stąd ab=2 ab+ac=3 2ac=n czyli ac=1 więc n=2 W wielomianie W(x,y)=2x⁴+3x³y+2x²y²+3xy³+2y⁴ nie wystepuje wyraz x²yi xy² więc d=0 Potem wezme sie za III

.: Mała poprawka do tego co pisałem w nocy. postać OGÓLNA wielomianu symetrycznego st. 1 to: P(x,y) = ax + ay +b postać OGÓLNA wielomianu symetrycznego st. 2 to: P(x,y) = ax² + bxy + ay² +cx + cy + d postać OGÓLNA wielomianu symetrycznego st. 3 to: P(x,y) = ax³ + bx²y + cxy + bxy² + ay³ +dx² + dy² + ex + ey + f wybacz ... ale w nocy nie do końca sprawnie myślałem :F Większość tych zmiennych się 'wyeliminuje' ze względu na nie występowanie jakiś czynników w W(x,y) −−− jednak tutaj teraz mnożenie jest o wiele bardziej skomplikowane (łatwiej się pogubić w literkach)

Link Tu: III W(x,y)=P(x,y)*Q(x,y) (ax²+bxy+ay²)(cx²+dxy+cy²= po wymnożeniu i uporządkowaniu =acx⁴+(ad+bc)x³y+(2ac+bd)x²y²+(ad+bc)xy³+acy⁴ W(x,y)=2x⁴+3x³y+nx²y²+3xy³+2y³ Stąd mam ac=2 ad+bc=3 2ac+bd=n Jeżeli ac=2 to pary (ac) mogą być takie (2,1) lub (1,2) lub (−2,−1) lub (−1,−2) Wezme teraz parę(2,1) czyli a=2 oraz c=1 2d+b=3 4+bd=n Sprawdzam dla d=−1 −2+b=3 b=5 4+(−1)*5=−1 (odpada bo musi być n>0 Wiec biorę d=0 b=3 n=4 (1^*) d=1 b=1 n=5 (2^*) d=2 b=−1 n=2 (3^*) d=3 b=−3 n=−1 odpada bo n<0 W(x,y)=P(x,y)*Q(x,y) (1^*) (2x²+3xy+2y²)(x²+y²)=2x⁴+3x³y+4x²y²+3xy³+2y⁴ (2^*) (2x²+xy+2y²)(x²+xy+y²)=2x⁴+3x³y+5x²y²+3xy³+2y⁴ (3^*) (2x²−xy+2y²)(x²+2xy+y²)=2x⁴+3x³y+2x²y²+3xY63+2y⁴ Sprawdziłem dla pozostałych par (ac) , Wychodzi tak samo że dla n=2 oraz n=4 oraz n=5 wielomian W(x,y) można rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych P(x,y) i Q(x,y) o współczynnikach całkowitych . Tylko trzeba odpowiednio dobrać (d) żeby było n>0 Np dla pary (ac)=(−2,−1) wyszło mi d=0, d=−1 d=−2

.: Proszę −−− spójrz na to co napisałem wcześniej ... niestety jest to 'odrobinę' bardziej rozbudowane niż podałem na początku

.: polecam Ci zrobić tabelkę, która ułatwi Ci mnożenie

Link Tu: Tak rozumiem Jeszcze raz dziekuje za poświęcony czas

.: A co do Twojego rozwiązania ... to taka sugestia, która jednak może być trudna do zauważenia: 2d+b=3 4+bd=n tu 'ograniczyłeś' się do d ≥ −1 nie podając na dobrą sprawę powodu takiego zachowania. 'dlaczego nie sprawdzasz d = −2' a to byśmy mieli gdybyś 'podstawił' i zrobił równanie wielomianowe: b= 3 − 2d −−−> 4+ (3−2d)*d = n −−−> −2d² + 3d + 4 = n i teraz ... skoro n∊N to na pewno −2d² + 3d + 4 > 0 I teraz masz argumentację do tego co robiłeś dalej i czemu mogłeś się 'zatrzymać' gdy tylko n 'uciekło' w wartości ujemne

Link Tu: No tak . Masz racje , Nie pomyslałem w ten sposób .