Oblicz pole czworokąta wpisanego w okrąg GTomo: Dany jest czworokąt ABCD wpisany w okrąg o promieniu 10√3. Wiadomo, że ∣AD∣=10 i ∣BC∣=20 oraz ∠DAB=3∠DCB. Przedłużenia boków AD oraz BC przecinają się w punkcie E tak, że ∠CED=45∘ oraz odcinek AB leży wewnątrz trójkąta CDE. Oblicz pole czworokąta ABCD.

.: 1. Zauważmy, że suma dwóch kątów środkowych opartych na tych samych łukach co kąty ∡DAB i ∡DCB dają 360^o. Stąd możemy policzyć, że ∡DAB = 135^o i ∡DCB = 45^o 1*. Alternatywnie mogliśmy zauważyć, że trójkąty ABD i BCD posiadają wspólny bok: BD. Opierając się na tw. sinusów dla okręgu opisanym na trójkącie mamy:

|BD|		|BD|
	= r =		−−−> sin(∡DAB) = sin(∡DCB)
2sin (∡DAB)		2sin (∡DCB)

stąd: ∡DAB = 180^o − ∡DCB i mamy: 180^o − ∡DCB = 3∡DCB −−−> ∡DCB = 45^o 2. Znając kąty ∡DAB i ∡DCB oraz promień okręgu, korzystając z przytoczonego wcześniej tw. sinusów możemy obliczyć |BD|. 3. Mając w trójkącie długości dwóch boków i miarę jednego z jego kątów, korzystając z tw. cosinusów możemy wyliczyć długość trzeciego boku. 4. Znając długości dwóch boków oraz miarę kąta pomiędzy nimi, możemy wyliczyć pole trójkąta stosując wzór na pole:

	1
PΔ =		ab*sinα
	2

Co za tym idzie −−− informacja o punkcie E, o ∡CED i o tym że bok AB leży wewnątrz trójkąta CDE jest nam całkowicie zbyteczna do rozwiązania tego zadania.