matematykaszkolna.pl
Potrzebuje pomocy z obliczeniem całki nieoznaczonej :( ania19: ∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx
11 sty 15:41
.: Tak była podana całka czy ona z czegoś wynika ?
11 sty 15:47
ania19: Taka była
11 sty 15:47
.: to bym próbował w ten sposób: 1. Dziedzina 2. ∫(−2x+4)*√−x2+6x−5 dx = ∫∫(−2x+6)*√−x2+6x−5 dx − ∫2*√−x2+6x−5 dx = Pierwsza całka: podstawienie t = −x2+6x−5 ; dt = −2x + 6 dx I z tym sobie chyba poradzisz, prawda?! Druga całka: −x2+6x−5 = −(x2 − 6x + 5) = −(x2 − 6x + 9) + 4 = 4 − (x−3)2 = 22 − (x−3)2 I podstawienie: x−3 = 2sin(t) ; dx = 2cos(t) dt
 cos(2t) + 1 
i otrzymasz w drugiej całce ∫ 2*4cos2(t) dt = ∫ 8
dt −−−> i z górki już masz
 2 
11 sty 16:03
.: ach i wracając z podstawieniem będziesz miała do wykorzystania:
 x−3 
x−3 = 2sin(t) −−−> t = arcsin(
)
 2 
11 sty 16:05
ania19: Dziękuję za pomoc
11 sty 18:12
Mariusz: Można też się bawić przez części ale jeśli chodzi o podstawienie to ∫(−2x+4)√(5−x)(x−1)dx √(5−x)(x−1) = (x−1)t (5−x)(x−1) = (x−1)2t2 5−x = (x−1)t2 5−x = xt2−t2 5+t2 = xt2 + x x(t2+1) = t2+5
 t2+5 
x =
 t2+1 
 t2+1+4 
x =
 t2+1 
 4 
x = 1+
 t2+1 
 4 
x − 1 =
 t2+1 
 4t 
(x − 1)t =
 t2+1 
 4t 
√(5−x)(x−1) =
 t2+1 
 8 t2−3 
(−2x+4) = −2(x−1)+2 = −
+2 = 2
 t2+1 t2+1 
 t(t2−3) 
(−2x+4)√(5−x)(x−1) = 8
 (t2+1)2 
 t2+5 
x =
 t2+1 
 2t(t2+1)−2t(t2+5) 
dx =
dt
 (t2+1)2 
 2t((t2+1)−(t2+5)) 
dx =
dt
 (t2+1)2 
 −8t 
dx =
dt
 (t2+1)2 
 t2(t2−3) t4−3t2 
−64∫
dt = −64∫
dt
 (t2+1)4 (t2+1)4 
 ((t2+1)−1)2−3((t2+1)−1) 
=−64∫
dt
 (t2+1)4 
 (t2+1)2−2(t2+1)+1−3(t2+1)+3 
=−64∫
dt
 (t2+1)4 
 (t2+1)2−5(t2+1)+4 
=−64∫
dt
 (t2+1)4 
 1 1 1 
=−64(4∫
dt−5∫
dt+∫
dt)
 (t2+1)4 (t2+1)3 (t2+1)2 
 1 1+t2−t2 
∫
dt = ∫
dt
 (t2+1)n (t2+1)n 
 1 1 (−t) 
∫
dt = ∫
dt+∫t
dt
 (t2+1)n (t2+1)n−1 (t2+1)n 
 1 1 
∫
dt = ∫
dt+
 (t2+1)n (t2+1)n−1 
 1t 1 1 
(
−
∫
dt)
 2n−2t2+1 2n−2 (t2+1)n−1 
 1 1t 2n−3 1 
∫
dt =
+
∫
dt
 (t2+1)n 2n−2t2+1 2n−2 (t2+1)n−1 
 1t 2n−3 
In=
+
In−1
 2n−2(t2+1)n−1 2n−2 
I1 = arctg(t)+C
 1 1 1 
=−64(4∫
dt−5∫
dt+∫
dt)
 (t2+1)4 (t2+1)3 (t2+1)2 
 1t 
−64(4*(
+
 6(t2+1)3 
 5 1 1 1 
∫
dt})−5∫
dt+∫
dt)
 6 (t2+1)3 (t2+1)3 (t2+1)2 
 2t 5 1 1 
−64(
−
∫
dt+∫
dt)
 3(t2+1)3 3 (t2+1)3 (t2+1)2 
 2t 5 1t 3 1 
−64(
−
(
+
∫
dt)+
 3(t2+1)3 3 4(t2+1)2 4 (t2+1)2 
 1 
∫
dt)=
 (t2+1)2 
 2t 5t 1 1 
−64(
−
−
∫
dt)
 3(t2+1)3 12(t2+1)2 4 (t2+1)2 
 2t 5t 1 1t 
−64(
−
−
(
 3(t2+1)3 12(t2+1)2 4 2(t2+1) 
 1 1 
+
∫
)dt)
 2 t2+1 
 2t 5t 1t 1 
−64(
−
−
−
arctg(t))+C
 3(t2+1)3 12(t2+1)2 8(t2+1) 8 
 1 t t t 
−
(128
−80
−24
−24arctg(t))+C
 3 (t2+1)3 (t2+1)2 (t2+1) 
Teraz należałoby wrócić do poprzedniej zmiennej Po powrocie do poprzedniej zmiennej otrzymałem
 1 −x2+6x−5 
=−
(2x2−9x+1)√−x2+6x−5+8arctg(
)+C
 3 x−1 
Możesz spróbować policzyć tę całkę tylko przez części choć nie jest to modne hamerykańskie ale da się
13 sty 15:15
. : Mateusz − nie sądzisz ze to jest 'odrobine' dookoła jechać ta całkę przez części?
13 sty 15:37
Mariusz: No to zobaczmy jak będzie wyglądało całkowanie przez części ∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx Całkowanie przez części ∫udv = uv − ∫vdu ∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx dv = (−2x+4)dx u = √−x2+6x−5
 −2x+6 
v = (−x2+4x+A), du =
dx
 2√−x2+6x−5 
 −x+3 
v = (−x2+4x+A), du =
 √−x2+6x−5 
 (−x2+4x+A)(−x+3) 
∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx = (−x2+4x+A)√−x2+6x−5 − ∫
dx
 √−x2+6x−5 
x3−4x2−Ax−3x2+12x+3A = x3−7x2+(12−A)x+3A (−2x+4)(−x2+6x−5)=2x3−12x2+10x−4x2+24x−20=2x3−16x2+34x−20 (−2x+4)(−x2+6x−5)=2(x3−8x2+17x−10) A=1 ∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx = (−x2+4x+1)√−x2+6x−5−
1 (2x3−16x2+34x−20)−(−2x2+12x−10)+16 
∫
2 √−x2+6x−5 
 1 
∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx = (−x2+4x+1)√−x2+6x−5−
∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx
 2 
 1 
+∫√(−x2+6x−5)dx−8∫
dx
 √−x2+6x−5 
3 
∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx = (−x2+4x+1)√−x2+6x−5 + ∫√(−x2+6x−5)dx −
2 
 1 
8∫
dx
 √−x2+6x−5 
 (x+A)(−x+3) 
∫√(−x2+6x−5)dx = (x+A)√−x2+6x−5−∫
dx
 √−x2+6x−5 
A = −3
 (x−3)(3−x) 
∫√(−x2+6x−5)dx = (x−3)√−x2+6x−5−∫
dx
 √−x2+6x−5 
 −x2+6x−5−4 
∫√(−x2+6x−5)dx = (x−3)√−x2+6x−5−∫
 √−x2+6x−5 
 1 
∫√(−x2+6x−5)dx = (x−3)√−x2+6x−5−∫√−x2+6x−5dx + 4∫
dx
 √−x2+6x−5 
 1 
2∫√(−x2+6x−5)dx = (x−3)√−x2+6x−5+4∫
dx
 √−x2+6x−5 
 1 1 
∫√(−x2+6x−5)dx =
(x−3)√−x2+6x−5+2∫
dx
 2 √−x2+6x−5 
3 1 
∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx = (−x2+4x+1)√−x2+6x−5+
(x−3)√−x2+6x−5
2 2 
 1 1 
+2∫
dx−8∫
dx
 √−x2+6x−5 √−x2+6x−5 
 2 21 
∫(−2x+4)√(−x2+6x−5)dx =
(−x2+4x+1)√−x2+6x−5+
(x−3)√−x2+6x−5
 3 32 
 2 1 
−
6∫
dx
 3 √4−(x−3)2 
 1 
1 
2 
 
=
(−2x2+8x+2+x−3)√−x2+6x−5−4∫
dx
 3 √1−((x−3)/2)2 
 1 
=
(−2x2+9x−1)√−x2+6x−5−4arcsin((x−3)/2)+C
 3 
Przez części trzeba całkować dwukrotnie
 dv 
Dobranie odpowiedniej stałej całkowania podczas obliczania v z
 dx 
powinno odrobinę uprościć obliczenia
18 sty 16:15