matematykaszkolna.pl
Kule w urnie - prawdopodobieństwo warunkowe Althea: Dane są 3 urny zawierające po 8 kul białych i 4 czarne każda, oraz 5 urn zawierających po 4 kule białe i 6 kul czarnych każda. Z losowo wybranej urny wylosowano kulę. Kula okazała się biała. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze kula ta została wylosowana z jednej z urn należących do drugiej grupy? −−−−−−−−−−−−− Rozwiązując sugerowałam się Przykładem 1 z Matemaksa ( https://www.matemaks.pl/wzor-bayesa.html ), ale wynik wydaje mi się coś podejrzany. Poniżej moje rozwiązanie. B − wylosowano kulę białą U1 − wylosowano urnę z grupy I U2 − wylosowano urnę z grupy II P(U1) = 3/8 P(U2) = 5/8 b1 = 3*8 = 24 − ilość kul białych w urnach I k1 = 3*(8+4) = 36 − ilość kul w urnach I
 b1 24 2 
P(B|U1) =
=
=
 k1 36 3 
b2 = 5*4 = 20 k2 = 5*(4+6) = 50
 b2 20 2 
P(B|U2) =
=
=
 k2 50 5 
 P(U2) * P(B|U2) 
P(U2|B) =
=
 P(U1) * P(B|U1) + P(U2) * P(B|U2) 
 
 5 2 
*
 8 5 
 
=
=
 
 3 2 5 2 
*
+
*
 8 3 8 5 
 
 
 1 
 4 
 1 
=
=
 
 1 1 
+
 4 4 
 2 
Wynik wydaje mi się podejrzany, bo jednak kul białych w urnach I jest więcej niż urnach II...
17 lis 21:02
Althea: Nadmienię, że ktoś już wysłał to zadanie jako ósme w 379810, ale nie dostał odpowiedzi
17 lis 21:11
miś: Jest emotka
17 lis 21:14
Althea: Hm. Spróbowałam inną metodą, tj. #(U2 ∩ B) = b2 = 20 P(U2 ∩ B) = 20 / 86 P(B) = 44 / 86
 
 20 
 86 
 20 5 
P(U2|B) = P(U2 ∩ B) / P(B) =
=
=
 
 44 
 86 
 44 11 
Wyszedł jeszcze inny wynik, mniej "podejrzany". To który w końcu?
17 lis 21:27
.: Hmmm:
 5*0.2 2 1 
P =
=
=
co się pokrywa z pierwszym rozwiązaniem
 5*0.2 + 3*2/3 2+2 2 
Drugie podejście nie jest prawidłowe. Kontrprzykład: Mamy dwie urny. W pierwszej mamy 10 białych i 0 czarnych, w drugiej mamy 10 białych i 990 czarnych. Losowo wybieramy urnę i losujemy 1 kulę. Wylosowana została biała kula. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano ją z pierwszej urny? A jakie, że z drugiej ? wedle drugiej przestawionej przez Ciebie metody:
 
10 
1010 
 1 
P(A1) =
=
 
20 
1010 
 2 
 
10 
1010 
 1 
P(A2) =
=
 
20 
1010 
 2 
Czyli jest takie samo prawdopodobieństwo, że ta kula była z urny 1 co z urny 2 Oczywiście, że nie. Bo o ile kulę białą losujemy z urny 1 z prawdopodobieństwem (nazwijmy to 'wagą') 1, to z urny drugiej jest to już z prawdopodobieństwem zaledwie 0.01 a robiąc 'tym sposobem' traktujesz oba typy kul białych jakby miały taką samą szansę bycia wylosowaną. Innymi słowy −−− zaprezentowana przez Ciebie 'metoda' reprezentuje sytuację: Dane są 3 urny zawierające po 8 kul białych i 4 czarne każda, oraz 5 urn zawierających po 4 kule białe i 6 kul czarnych każda. Kule z 3 pierwszych urn mają literkę 'A', z pozostałych 5'ciu mają literkę 'B'. Wszystkie kule z tych urn przesypujemy do jednej wielkiej urny i losujemy jedną kulę. Wylosowaliśmy białą ... jakie jest prawdopodobieństwo, że ma ona literkę 'B'.
17 lis 23:30
.: Cholera ... tam oczywiście miało być 5*0.4 emotka
17 lis 23:35
.: Albo inny przykład: Mamy dwa zespoły: 5 osobowy: Adam, Bartek, Celina, Dominika i Ewa. 4 osobowy: Franek, Grzegorz, Hania, Iza. Krok 1: Wybieramy losowo zespół. Krok 2: Wybieramy losowo osobę. Wylosowaliśmy chłopaka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to Adam, a jakie że Franek?
 1 
Drugą 'metodą' to by było P(Adam) = P(Franek) =
no bo jest jednym z czterech chłopów
 4 
... tyle że szansa na wybranie danego chłopaka prezentuje się tak: Adam: 10% Bartek: 10% Franek: 12.5% Grzegorz: 12.5% Więc widzisz, że Franek / Grzegorz mają większą szansę bycia wybranym niż Adam / Bartek. Poprawnie byłoby policzenie:
 10% 10 4 
P(Adam) =
=
=
 2*10% + 2*12.5% 45 18 
 12.5% 125 5 
P(Franek) =
=
=
 2*10% + 2*12.5% 450 18 
Co odpowiada rzeczywistości ... że Franek ma większą szansę bycia losowo wybranym niż Adam.
17 lis 23:47