liczby rzeczywiste Mat: Wykaż że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą niż 3 to p²−1 jest liczbą podzielną przez 24 podzielność przez 3: p²=3m+1, p²−1=3m skąd to się wzięło podzielność przez 3 może ktoś wytłumaczyć prosto?

.: skoro p jest liczbą pierwszą większą od 3, to znaczy że: p = 3n+1 lub p = 3n + 2 stąd: p² = (3n+1)² = 9n² + 6n + 1 = 3(3n²+2n) + 1 = 3m + 1 lub p² = (3n+2)² = 9n² + 12n + 4 = 3(3n²+4n+1) + 1 = 3m + 1 warto zapamiętać, że jeżeli p jest liczbą pierwsza (różną od 3), to p² przy dzieleniu przez 3 daje nam resztę 1 (co wynika z powyższego wykazywania)

.: lub zapamiętajmy, że jeżeli liczba 'a' (a≠0) nie jest podzielna przez 3 to liczba 'a²' przy dzieleniu przez 3 daje nam resztę równą 1 powyższą obserwację od czasu do czasu wykorzystuje się w jakiś zadaniach gdzie dowodzimy podzielność jakiegoś wyrażenia

.: ale tak naprawdę (moim osobistym zdaniem) możemy całkowicie olać tą podzielność i przejść od razu do: każda liczba pierwsza p większa od 3 jest zapisana w postaci: p = 6n + 1 lub p = 6n − 1 (n∊N₊) i po prostu liczymy dla obu postaci wartość wyrażenia p²−1 i pokazujemy, że w obu przypadkach możemy wyłączyć 12 przed nawias, a to co w nawiasie pozostaje jest liczbą parzystą.

Mat: dzięki

Mila: p>3 i p − liczba pierwsza p−1,p,p+1 − 3 kolejne liczby naturalne, p jako liczba pierwsza większa od 3 jest liczba nieparzystą p−1,p+1 to kolejne liczby parzyste zatem jedna dzieli się przez 2 a druga przez 4, ponadto jedna z nich jest podzielna przez 3, [ (p−1)*p*(p+1) − iloczyn 3 kolejnych liczb i p>3, zatem jedna z liczb (p−1) albo (p+1) podzielna przez 3 ] Stąd iloczyn (p−1)*(p+1) jest podzielny przez 24.