szybki przykład z wartością bezwzględną hannah: Hej! Chciałby ktoś proszę na jakimś prostym przykładzie wyjaśnić, jak rozwiązać równanie z wartością bezwzględną w którym dodajemy dwa wyrażenia pod wartością bezwzględną? tzn np. |x − 4| + |x − 7| = 7 o coś takiego chodzi. Sytuacja w której nie da się wyciągnąć przed znak wartości bezwzględnej żadnej liczby tak aby te wyrażenia pod wartością bezwzględną były takie same i aby dało się je po prostu dodać (trochę namieszałam ale mam nadzieję że rozumiecie). Nigdzie nie mogę znaleźć odpowiedzi.. pozdro

.: Mamy dwa podejścia ... liczymy (dzieląc na przypadki) ... albo graficznie. Warto zaznajomić się obydwoma podejściami i wybierać który Ci lepiej pasuje do danego równania. 1. Liczymy Zaczynamy od narysowania osi X i zaznaczenia punktów w których dochodzi do zmiany znaku w wartościach bezwzględnych I widzimy, że będziemy rozdzielać na 3 przypadki: I. Obie wartości pod wartością są ujemne ... dla x ∊ (−∞ , 4) II. Jedna dodatnia, druga ujemna ... dla x ∊ <4 ; 7) III. Obie dodatnie ... dla x ∊ <7 ; +∞) I. x ∊ (−∞ , 4) −(x−4) + [−(x−7)] = −x + 4 − x + 7 = −2x + 11 = 7 −−−> 11 − 7 = 2x −−−> x = 2 −−−− należy do przedziału II. x ∊ <4 ; 7) x−4 + [−(x−7)] = x − 4 − x + 7 = 3 = 7 −−−> 0 = 4 −−−> SPRZECZNOŚĆ ... brak rozwiązań w tym przedziale III. x ∊ <7 ; +∞) x−4 + x−7 = 2x − 11 =7 −−> 2x = 18 −−−> x = 9 −−−− należy do przedziału ODP: x = 2 ∨ x = 9

moduł:

.: 2. Graficznie wiemy, że wykres f(x) = |x−4| + |x−7| będzie zawierał się w wykresach prostych ... inna prosta dla innego przedziału (kiedy zmieniamy znak wartości bezwzględnej). Jako, że przez dwa punkty można poprowadzić tylko jedną prostą to wystarczy policzyć parę wartości tejże funkcji. I np. robimy: a) f(4) = 0 + |4−7| = 3 b) f(7) = |7−4| + 0 = 3 c) f(0) = |0−4| + |0−7| = 11 d) f(8) = |8−4| + |8−7| = 4+1 = 5 Zaznaczamy punkty na osi i prowadzimy proste ołówkiem, a długopisem poprawiamy te linie które należą do danego przedziału. ZAUWAŻ. Sprawdzając wartość funkcji wziąłem dwa punkty w których zmieniamy znaki w wartości bezwzględnej, jeden 'na lewo' od obu tych punktów i jeden 'na prawo' od obu tych punktów (te dwa punkty można sobie wybrać dowolnie oby tylko były odpowiednio na lewo i na prawo od obu punktów). Teraz rysujemy prostą y=7 i odczytujemy z wykresu współrzędną 'x' punktów przecięcia z wykresem funkcji f(x). Po odczytaniu współrzędnych 'x' warto je wstawić do równania aby sprawdzić czy się zgadza.

.: Należy jednak mieć na uwadze, że 'metoda graficzna' nie musi być dokładna (co jeżeli wynikiem było by x = 2.0001 ∨ x = 8.9999 ... tego byśmy nie zobaczyli rysując. Ale przy prostych przykładach ... albo dla nas samych ... aby zobaczyć jak to wygląda ... jak najbardziej jest to coś co bym polecał

.: I teraz przy okazji pokazania metody graficznej nauczyciel powinien napomnieć, że na podstawie wykresu widać, że rozwiązaniem równania: |x−4| + |x−7| = y (gdzie y to 'jakaś liczba') będziemy mieli : 1. brak rozwiązań (i pokazać, że np. dla y = −1 prosta będzie poniżej wykresu f(x) ) 2. dokładnie 2 rozwiązania (i pokazać, że np. y = 7 przecina się dokładnie dwa razy z wykresem f(x) ) 3. nieskończenie wiele rozwiązań (i narysować y=3)

Mila: |x − 4| + |x − 7| = 7 1) |x−4|=x−4 dla x≥4 |x−4|=−x+4 dla x<4 2) |x−7|=x−7 dla x≥7 |x−7|=−x+7 dla x<7 3) rozwiązujesz równanie w trzech przedziałach ustalając wartości wyrażeń; 1)x<4 (−x+4)+(−x+7)=7 obydwa wyrażenia zmieniły znak −2x=−4 x=2 ∊D_r 2) x∊<4,7) x−4+(−x+7)=7 −4=0 dalej sam, powyżej kolega rozwiązał. Moi uczniowie korzystali z tego sposobu, bo tak opisana oś ułatwiała im pracę. Niektórzy robili tabelkę: =====================