Rozwin funkcję w szereg Mariusz:

	1
Mamy funkcję f(x,t) =
	√1−2xt+t2

Policzmy kolejne pochodne i spróbujmy zaobserwować jakiś wzór Do policzenia pochodnych skorzystajmy jedynie z pochodnej iloczynu oraz z pochodnej złożenia

	1
f(x,t) =
	(1−2xt+t2)1/2

df		1
	= (−		)(1−2xt+t2)−3/2(−2x+2t)
dt		2

df		(x−t)
	=
dt		(1−2xt+t2)3/2

d2f		−1		3
	=		+ (x − t)(−		)(1−2xt+t2)−5/2(−2x+2t)
dt2		(1−2xt+t2)3/2		2

d2f		−1		3(x − t)2
	=		+
dt2		(1−2xt+t2)3/2		(1−2xt+t2)5/2

d3f		3		3*2*(−1)*(x − t)
	= (−1)(−		)(1−2xt+t2)−5/2(−2x+2t)+
dt3		2		(1−2xt+t2)5/2

	5
+3(x − t)2*(−		)(1−2xt+t2)−7/2(−2x+2t)
	2

d3f		−9(x − t)		15(x − t)3
	=		+
dt3		(1−2xt+t2)5/2		(1−2xt+t2)7/2

d4f		−9*(−1)		5
	=		−9(x − t)(−		)(1−2xt+t2)−7/2(−2x+2t)
dt4		(1−2xt+t2)5/2		2

	7
+15*3*(−1)*(x − t)2(1−2xt+t2)−7/2+15(x − t)3(−		) (1−2xt+t2)−9/2(−2x+2t)
	2

d4f		9		90(x − t)2
	=		−
dt4		(1−2xt+t2)5/2		(1−2xt+t2)7/2

	105(x − t)4
+
	(1−2xt+t2)9/2

Możemy teraz spróbować zaobserwować pewien wzór

dn		1
	(		) =
dtn		√1−2xt+t2

	an−2k(x − t)n−2k
∑k=0[n/2]
	(1−2xt+t2)n+1/2−k

tylko jak obliczyć współczynniki a_n−2k nie zapętlając się oraz bez odwoływania się do wielomianów Legendre'a bo właśnie w ten sposób chciałem je otrzymać Zauważyłem że współczynniki a_n−2k są całkowite

M: