całka :): Witam, jak policzyć całkę oznaczoną od 1 do √3 ∫√1+1/x² dx ?

wredulus_pospolitus: A mieliśmy pochodne funkcji hiperbolicznych? Jeżeli nie, to czy aby na pewno tak wygląda całka? Jeżeli 'tak', to czy tak wygląda tak przykład, czy też to wynika z jakiś innych przekształceń? Jeżeli przekształcaliśmy coś ... to jaka była ORYGINALNA treść zadania?

:): obliczyć długośc wykresu funkcji: y=Inx x∊[1, √3]

Mariusz:

	1
∫1√3√1+		dx
	x2

	1
t =
	x

	1
dt = −		dx
	x2

dt = −t²dx

	1
dx = −		dt
	t2

	1
∫1√3/3√1+t2(−		)dt
	t2

	√1+t2
∫√3/31		dt
	t2

√1+t² = ut − 1 1+t² = u²t²−2ut + 1 t² = u²t²−2ut u²t²−2ut −t² = 0 t(u²t − t − 2u) =0 t = 0 ⋁ u²t − t − 2u =0 u²t − t − 2u = 0 u²t − t = 2u t(u² − 1) = 2u

	2u
t =
	u2 − 1

	2(u2 − 1) − 2u*2u
dt =		du
	(u2 − 1)2

	u2 + 1
dt =−2		du
	(u2 − 1)2

	2u2 − (u2 − 1)
√1+t2 = ut − 1 =
	u2 − 1

	u2 + 1
√1+t2 =
	u2 − 1

	√1+t2 + 1
u =
	t

	√3		√4/3+1
u(		) =		= 2 + √3
	3		√1/3

u(1) = 1+√2

	u2 + 1		(u2−1)2		u2+1
∫2+√31+√2		*		*(−2		du
	u2 − 1		4u2		(u2−1)2

1		(u2+1)2
	∫1+√22+√3		du
2		u2(u2 − 1)

1		(u2−1)2+4u2
	∫1+√22+√3		du=
2		u2(u2 − 1)

1		u2−1		1
	∫1+√22+√3		du + 2∫1+√22+√3		du
2		u2		u2−1

	√1+t2
∫√3/31		dt
	t2

W tej całce mogliśmy też podstawić √1+t² = u − t

Mariusz: Jeśli mamy całkę

	√1+t2
∫√3/31		dt
	t2

to możemy pomocniczo przez części policzyć

	√1+t2		√1+t2
∫√3/31		dt = −		|√3/31 −
	t2		t

	1
∫√3/31{−		}dt
	√1+t2

	√1+t2		1
∫√3/31		dt = −√2+2 + ∫√3/31		dt
	t2		√1+t2

	1
Jeżeli całkę z ∫		dt masz w tablicach to skorzystaj z wyniku
	√1+t2

a jeśli nie to zastosuj pierwsze podstawienie Eulera √1+t² = t − u