Wielomiany - dowód podzielności Kamil: Dany jest wielomian f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeśli dla każdego xε ℤ 7|f(x), to wszystkie współczynniki tego wielomianu są podzielne przez 7.

wredulus_pospolitus: wyciągasz wnioski (tworzysz odpowiednie równania i wykazujesz) z podstawienia za x parę liczb całkowitych. Proponuję policzyć: f(0) = ... f(1) = ... f(−1) = ... f(2) = ... f(−2) = ... to wystarczy aby wykazać tezę z zadania.

Kamil: np f(0)=e f(1)=a+b+c+d+e f(−1)=a−b+c−d+e czyli np: 7|e 7|a+b+c+d+e ale co z tego wynika z zasadzie?

wredulus_pospolitus: 1. f(0) = e −−−> 7|e 2. f(1) = a+b+c+d+e f(−1) = a−b+c−d+e +________________ f(1) + f(−1) = 2a+2c+2e −−−> f(1) + f(−1) − 2e = 2(a+c) −−−> 7|(a+c) 3. f(1) − f(−1) = 2b+2d) −−−> 7|(b+d) 4. i 5. pozostawiam Tobie ... tam odpowiednio wykorzystując wnioski z (2.) i (3.) dostaniemy 7|a i 7|b co w konsekwencji dla podzielność pozostałych współczynników (c i d)

wredulus_pospolitus: i oczywiście odpowiednie komentarze należałoby podać ... jak np. skąd wiem (patrząc na równanie), że 7 dzieli (a+b)

Kamil: f(2)+f(−2)−2e = 8*(a+c) → 7|(a+c) f(2)−f(−2) = 4*(4b+d) → ? Tylko co w zasadzie z tego wynika? Co my musimy pokazac? ze kazda para wspólczynnikow jest podzielna przez 7?

wredulus_pospolitus: absolutnie nie f(2)+f(−2) = 2*(2⁴a + 2c)

wredulus_pospolitus: poprawka ... 2²c

wredulus_pospolitus: kolejna poprawka f(2) + f(−2) − 2e = 2*( 2⁴a + 2²c ) i teraz trza skorzystać z wiedzy (2.) ... przekształcić to równanie tak aby móc wyciągnąć wniosek: 7|a

Kamil: Trzeba wyrazic kazdy wspolczynnik zaleznie od wspolczynnika a?

wredulus_pospolitus: Nie ... co Ty właściwie kombinujesz Jak chcesz uzależnić inne od 'a' Czuję. że 'nie czujesz' co właściwie się dowodzi w ten sposób.

Kamil: No właśnie chyba nie za bardzo rozumiem co chcemy pokazać. Kombinuje też jak podstawić pkt 2 ale tam jest wniosek że 7|(a +c) Tu many jakby 32a + 8c = 8(4a+c) więc nie bardzo widzę jak tu użyć wniosek z pkt 2

wredulus_pospolitus: podpowiedz: należy zapisać 8(4a+c) = 8*3a + 8(a+c) i jaki z tego wniosek wychodzi

wredulus_pospolitus: chcemy pokazać, że: jeżeli dla dowolnego x∊Z zachodzi 7|W(x) to: 7|a ∧ 7|b ∧ 7|c ∧ 7|d ∧ 7|e