Ciągłość funkcji Podstawy Geometrii: Funkcję f: A →ℛ nazywamy ciągłą w zbiorze B⊂A jesli f jest ciągła w każdym punkcie zbioru B Przykłady z książki na ciągłość funkcji w punkcie zrobiłem Jest natomiast polecenie Zbadaj ciągłość funkcji w zbiorze ℛ a następnie sporządz jej wykres jeżeli a) f(x)={3x dla x<0 {2x−x² dla x≥0 b) f(x)={−1 dla x≤0 {1 dla x>0 c) f(x)=|x| d) f(x)=|x−1| e) f(x)=|x+3| f) f(x)=|x²−1| g) 4−x²| h) |(x−3)(x+2)| i) |x²−x−2|

	|x−4|
j) f(x)={		dla x≤−1
	x−4

{2x+1 dla −1<x≤1 {2+2x−x² dla x>1 Ogólnie jak do tego podejść?

wredulus_pospolitus: Ogólnie badanie ciągłości polegałoby na sprawdzeniu każdego punktu w R (nierealne), ale ... wiem że g(x) = 3x jest funkcją ciągłą (w R) ; h(x) = 2x−x² także jest funkcją ciągłą (w R) więc f(x) na pewno jest ciągła w R/{0} ... pozostaje nam do sprawdzenia czy jest ciągła w x₀=0 do sprawdzenia tego skorzystamy z granicy i sprawdzimy czy: lim_{x−> 0⁻} f(x) = f(0)

Podstawy Geometrii: a) f(0)=2x−x²=0 lim x→0 3x=0 Funkcja jest ciągła b) f(x)=−1 ciągła w zbiorze ℛ f(x)=1 ciągła w zborze ℛ Podejrzany punkt to x₀=0 f(0)=−1 lim x→0 =1 W punkcie x₀=0 funkcja nie jest ciągła c) f(x)=|x| jak ppodejśc do tego bo tutaj nie punktów podejrzanych ?

wredulus_pospolitus: jak bardzo chcemy sobie przećwiczyć to:

	⎧	x dla x≥0
|x| =	⎩	−x dla x<0

wredulus_pospolitus: i raczej nie pisze się f(x) = −1 ciągła w R ; f(x) = 1 ciągła w R po prostu piszemy sobie f(x) jest ciągła w R\{x₀} ... albo nawet i ten zapis olewamy

Podstawy Geometrii: Będe uważał z tymi zapisami c) f(x)=|x| |x|= x dla x≥0 =−x dla x<0 f(0)=0 biore to |x|=x dla x≥0 lim x→0 (−x)=0 limx→0=f(0) Funkcja jest ciągła na całym zbiorze ℛ d) f(x)=|x−1| |x−1|= x−1 dla x≥1 |x−1|=1−x dla x<1 f(1)=x−1=1−1=0 limx→1 (1−x)=0 lim x→1 = f(1) Funkcja jest ciągla na całym zbiorze ℛ mam takie pytanie Funkcje liniowe , kwadratowe ,wielomiany , logartmiczne , wykladnicze trygonometryczne sa ciągłe ww swojej dziedzinie To wiemy A co z watościa bezwzględna?

wredulus_pospolitus: funkcja "wartość bezwzględna" 'nie psuje' ciągłości funkcji więc, jeżeli g(x) ciągła w A, to f(x) = |g(x)| ciągła w A

wredulus_pospolitus: dlatego właśnie napisałem " jak bardzo chcemy sobie przećwiczyć "

wredulus_pospolitus: pominę dowód tego (20:39) faktu i tylko napiszę: 1. jeżeli g(x) przyjmuje wartości nieujemne to f(x) = |g(x)| = g(x) 2. jeżeli g(x) przyjmuje wartości niedodatnie to f(x) = |g(x)| = −g(x) 3. w pozostałych przypadkach f(x) będzie kombinacją funkcji g(x) i −g(x) które w przedziałach są ciągłe, natomiast w miejscu 'przejścia' z jednej na drugą wartość funkcji będzie równa 0 (bo tak wygląda konstrukcja wartości bezwględnej)

wredulus_pospolitus: natomiast wartość bezwzględna 'psuje nam' różniczkowość (posiadanie pochodnej), ale to jeszcze chwilka zanim do tego rozdziału przejdziesz

Podstawy Geometrii: Ja sie dopiero tego uczę i chciałbym to dobrze zrozumieć, dlatego dopytuję e) będzie podobne do d) Teraz f) f(x)=|x²−1| |x²−1|=x²−1 dla x∊(−∞,−1]U[1,∞) |x²−1|=1−x² dla x∊(−1,1) Więc tutaj możemy także zapisac ze funkcja f(x)=|x²−1| jest ciągła w zbiorze ℛ Musimy tutaj policzyć wartośc funkcji dla x=−1 i x=1 oraz policzyć granice przy x→−1 i x→1?

wredulus_pospolitus: dokładnie ... tutaj będą 2 punkty 'podejrzane' o bycie punktami nieciągłości.

Podstawy Geometrii: f(−1)=x²−1=0 lim x→−1 (1−x²)=0 f(1)=x²−1=0 lim x→1 (1−x²)=0 Funkcja jest ciągła na całym zbiorze ℛ

Podstawy Geometrii: To przykłady g,h,i) podobnie Został przykład j)

	|x−4|
f(x)={		dla x≤−1
	x−4

{2x+1 dla −1<x≤1 {2+2x−x² dla x>1 Tutaj mam problem bo tak x=4 musimy wyrzucic z dziedziny Więc w x=4 jej nie badamy ? Podejrzane punkty o nieciągłośc to x=−1 i x=1

	|x−4|		4−x
f(−1)=		=		=−1
	x−4		x−4

lim x→(−1) 2x+1=2*(−1)+1=−1 f(1)=2x+1=2+1=3 limx→1 −x²+2x+2=−1+2+2=3 Jak tutaj bedzie ? f(−1)≠f(1) lim x→(−1)≠lim x→1 W odpowiedzi mam że jest ciągła

wredulus_pospolitus: ale chwila ... f(−1) NIE MUSI być równa f(1) badasz osobno ciągłość w punkcie x = −1 czyli czy f(−1) = lim_{x−> −1} f(x) (lewo czy tam prawostronna) i osobno dla punktu x = 1

Podstawy Geometrii: Dobrze