równanie trygonometryczne paweł: Rozwiąż równanie cos²(2x)−cos(x)=1−sin(2x)−sin(x)

wredulus_pospolitus: sprawdź dokładnie czy aby na pewno tak właśnie wygląda to równanie

paweł: tak, jest to równanie z dzisiejszej matury − operon − poziom rozszerzony, nigdy nie miałem problemu z żadnym, a nad nim siedziałem z dobre 40 minut i nic nie wymyśliłem, za każdym razem coś zostaje i nie chce się ładnie zwinąć

Wilhelm: cos²x − sin²x − cosx = cos²x + sin²x − 2sinx cosx − sinx 2sin²x − 2sinx cosx − sinx + cosx = 0 ⇒ 2sinx(sinx − cosx) − (sinx − cosx) = 0 itd

Hela: cos²(2x)≠ cos²x−sin²x

paweł: ale tam jest cos²(2x), a nie cos(2x)

Mei Lin: Wedłg mnie będzie tak jak napisał kolega o 18 : 50 Tam pewnie jest pomyłka . Za dużo czasu na maturze zajęłoby rozwiązanie tego równania

ite: cos²(2x)−cos(x)−1+sin(2x)+sin(x)=0 1−sin²(2x)−1+sin(2x)+sin(x)−cos(x)=0 −sin²(2x)+sin(2x)+sin(x)−cos(x)=0 sin(2x)[1−sin(2x)]+sin(x)−cos(x)=0 zauważam, że 1−sin(2x)=[sin(x)−cos(x)]² sin(2x)[sin(x)−cos(x)]²+[sin(x)−cos(x)]=0 [sin(x)−cos(x)]*[sin(2x)*(sin(x)−cos(x))+1]=0 część rozwiązań z pierwszego nawiasu widać, ale drugi nie wiem, jak przekształcić, może ktoś ma pomysł

ite: cześć rozwiązań = część punktów (czyli już jakaś korzyść)

Mei Lin: ite To drugie równanie spróbuje zrobic tak najwyżej bedzie żle sin(2x)[sin(x)−cos(x)]+1=0 2sin(x)*cos(x)[sin(x)−cos(x)]+1=0 Zrobie podstawienie

	x
t=tg		cos(x/2)≠0
	2

	2t
sin(x)=
	1+t2

	1−t2
cos(x)=
	1+t2

	2t		(1−t2)		2t		1−t2
2*		*		*[		−		]+1=0
	1+t2		1+t2		1+t2		1+t2

4t−4t3		t2+2t−1
	*		+1=0
(1+t2)2		1+t2

−4t5−8t4+8t3+8t2−4t		(1+t2)3
	+		=0
(1+t2)3		(1+t2)3

−4t5−8t4+8t3+8t2−4t+t6+3t4+3t2+1
	=0
(1+t2)3

t6−4t5−5t4+8t3+11t2−4t+1
	=0
(1+t2)3

t⁶−4t⁵−5t⁴+8t³+11t²−4t+1=0 W(−1)= 1+4−8+11+4+1≠0 W(1)=1−4−5+8+11−4+1≠0 Nie zrobie tego dalej

chichi: widziałem arkusz, polecenie jest takie jak pisze autor, ale gdy zamiast cos²(2x) jest cos(2x), to rozwiązania są piękne, więc raczej to błąd w zadaniu

Mei Lin: chichi Gosciu kiedys liczył że na rozwiązanie zadania potrzeba około 6 minut na maturze, Przy tym zadaniu potrzeba znacznie więcej

ite: Mei Lin jak widać o 00:28 podążasz drogą Mariusza...

Fałszywy 6-latek: Droga Mariusza jest dla wiedźminów

Mei Lin: Dzień dobry ite Daleko mi do Mariusza .On umie pisać programy do rozwiązywania problemów .Ja niestety nie O tym podstawieniu pisze Pan profesor Witold Janowski w swojej książce Trygonometria . Pisze mniej więcej tak . Jeśli nic nie przychodzi do głowy aby rozwiązać równanie to to podstawienie jest uniwersalne . Prowadzi to czasem do niewygodnych równań ale zawsze cos można zrobić. Pozdrawiam

chichi: inne zadanie z tej matury brzmi tak:

	3−√17		3+√17
Dane jest równanie (x−2)[x2+2(m−1)x−m2+m+2]=0. Dla m∊(		,		) równanie
	4		4

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste. Dla jakich wartości parametru m te rozwiązania będą tego samego znaku oraz będą spełniały warunek x₁+x₂³+x₃³ ≤ 10−8m? Spróbuj swoich sił Krzysztofie

paweł: o, właśnie! zadanie z parametrem: kolejny bubel. Jak niby im wyszły trzy różne rozwiązania dla m∊(^3−√17₄,^3+√17₄), skoro tu ewidentnie wychodzi dla m∊(−∞,^3−√17₄) u (^3+√17₄,+∞)

chichi: to prawda, również buble. ale ciekawy jest drugi warunek... Operon zapewne przyjął, że x₁ = 2, a x₂ i x₃, to pierwiastki wielomianu kwadratowego z drugiego nawiasu, ale czy to jedyna możliwa narracja? kpiną jest to, że uczniowie płacą po 30zł za pisanie tego gó....

paweł: Zgadzam się, rzeczą kompletnie niezrozumiałą jest wypuszczanie zadań przez ,,ekspertów", którzy jak widać sami mają niemały problem ze spójnością i poprawnością. Unikać!

Mei Lin: To w takim razie szkoda czasu .

chichi: uważam, że to strasznie krzywdzące dla maturzystów, którzy mieli odpłatnie okazję uczestniczyć w tych pseudoegzaminach. z pewnością nie tak wygląda matura, więc jaka to matura próbna, prędzej matura zgubna