styczne do okręgu kiri: Napisz równania stycznych do okręgu o równaniu (x−3)² + (y+2)² = 18 przechodzących przez punkt A, gdzie A=(2,3) Wiem, że środek okręgu to S(3,−2), i że promień okręgu to 3√2, ale co dalej? Proszę o wytłumaczenie, chciałabym zrozumieć temat

Aruseq: Wychodzisz od postaci y=ax+b, wykorzystujesz to, że przechodzi ona przez punkt A i jest odległa od środka o promień

kiri: możesz proszę pokazać chociaż początek obliczeń? Trochę bardziej szczegółowo?

Mei Lin: 1) dobrze jest sobie zrobic rysunek −widac wtedy gdzie lezy punkt A U nas leży na zewnątrz okręgu więc będa dwie styczne (bedziemy szukac równan dwóch stycznych 2) ogólnie mamy że prosta przechodząca przez dany punkt ma równanie y−y₀=m(x−x₀) (x₀,y₀) to wspólr5zedne punktu A u nas Prosta przechodząca przez punkt A =(2,3) bedzie miała równanie y−3=m(x−2) ================ 3) Obliczamy odległość środka okręgu S=(3,−2) od prostej y−3=m(x−2) a)Piszemy równanie tej prostej w postaci ogólnej y−3=mx−2m −mx+−2m+y−3=0 y−mx+2m−3=0 (robimy tak żeby to (mx) było dodatnie mx−y−2m+3=0 (mamy już masz równanie tej prostej w postaci ogólnej =============== b) Stosujemy wzór na odległośc punktu od prostej Znamy ten wzór

	|mx0 −y0−2m+3|
d=
	√m2+1

	|m*3−(−2)−2m+3|
d=
	√m2+1

c) rozważana prosta jest styczna do kręgu gdy d=r czyli u nas 3√2

	|m+5|
3√2=
	√m2+1

Teraz wyliczenie m zostawiam Tobie

Mei Lin: W którym miejscu sie zatrzymujesz?

kiri: Wyszło mi, że m₁ = −⁷₁₇ , a m₂ = 1, czy to dobrze?

Mei Lin: Do godzinki sie odezwe bo teraz musze pilnie wyjśc

kiri: Dziękuję

Mei Lin:

|m+5|
	=3√2
√m2+1

|m+5|=3√2*√m²+1 |m+5|=3√2(m²+1) |m+5|²=(3√2(m²+1))² (m+5)²=9(2m²+2) m²+10m+25=18m²+18 −17m²+10m+7=0 17m²−10m−7=0 Δ=576

	7
m1=−
	17

m₂=1 Styczne maja równania y−3=m(x−2) y₁=m₁(x−2)+3

	7
y1=−		(x−2)+3
	17

	7		14
y1=−		x+		+3
	17		17

	7		14
y1= −		x+3
	17		17

========================= y₂= m₂(x−2)+3 y₂=1(x−2)+3 y₂=x+1 ============ Sprawdz jeszcze ta piersza styczna na rysunku bo czasami ten program zle rysuje

kiri: a czy w y₁ nie powinno być y₁= −⁷₁₇x+ ⁶⁵₁₇ po sprowadzeniu ¹⁴₁₇ i 3 do wspolnego mianownika? poza tym moje obliczenia się zgadzają z Twoimi

Mei Lin: Tak masz oczywiście rację Spieszyłem sie żeby zdązyc Czy do tej pory wszystko jest zrozumiałe dla Ciebie skąd co sie bierze ?

kiri: Tak! Bardzo dziękuję za pomoc, potrzebowałam takiego uporządkowania informacji

Mei Lin: Moze to Wzór na odległośc punktu P(x₀,y₀) od prostej o równaniu ogólnym Ax+B+C=0 jest taki

	|Ax0+By0+C|
d=
	√a2+b2

My mamy prosta o równaniu ogólnym mx−y−2m+3 wiec nasze A=m B=(−1) C=−2m+3 Podstawiamy to do wzoru i mamy

	|m*x0+(−1)*y0+−2m+3|
d=		a (−1)21
	√m2+(−1)2

I za x₀ y₀ wstawiamy wspolrzedne punktu S

kiri: tak, z tym miałam trochę problem na początku, ale już czaję. Dzięki jeszcze raz

Iryt: A=(2,3) AS=√1²+5²=√26 x²=(√26)²−R²=26−18=8 − kwadrat długości stycznej Równanie okręgu: O(A, r=2√2) (x−2)²+(y−3)²=8 3) Punkty styczności: (x−3)² + (y+2)² = 18 (x−2)²+(y−3)²=8

	60		25
(P=(0,1) Q=(		,		)
	13		13

Prosta AP: y=x+1 Prosta AQ napisz sam. łatwy sposób o ile punkty styczności nie są zbyt skomplikowane rachunkowo.

Mei Lin: Dobry wieczór Milu Zaraz sobie to wydrukuję . A dla koleżanki moze takie Znajdz równania stycznych do oktręgu o równaniu (x−1)²+(y+1)²=25 i przechodzących przez punkt A=(6,9)

kiri: W tym przykładzie wyszło mi tylko jedno a, tym samym tylko jedna styczna, nie wiem gdzie to zepsułam y=a(x−x₀)+y₀ y−9=a(x−6) y−9=ax−6a ax−y−6a−9=0 ^{|a+1−6a−9|}_{√a² +1} =5 ^−5a−8_{√a² +1} =5 |−5a−8|=5√a² +1 /² 25a²+80a+64=25a² +5 80a=−59 a=−⁵⁹₈₀ −⁵⁹₈₀x−y−6(−⁵⁹₈₀)−9=0 −⁵⁹₈₀x−y+³⁵⁴₈₀−9=0 y=−⁵⁹₈₀x−³⁶⁶₈₀

eess: W jakim przykładzie ? podaj treść zadania!

kiri: W tym napisanym przez Mei Lin

kiri: Znajdz równania stycznych do oktręgu o równaniu (x−1)2+(y+1)2=25 i przechodzących przez punkt A=(6,9)

Jolanta:

	|Ax0+By0+C|
d=
	√A2+B2

Jolanta:

	|Ax0+By0+C|
d=
	√A2+B2

Jolanta: x₀=6. y₀=9

Jolanta: Oj źle napisałam współrzędne punktu zamiast srodka

Jolanta: W liczniku to a−1−6a−9

b: druga styczna ma równanie x=6

kiri: dlaczego x=6?

aa: Z punktu A poza okręgiem można zawsze poprowadzić dwie styczne 1) obydwie styczne są postaci y=ax+b 2) tylko jedna jest postaci y=ax+b to druga postaci y=y_A lub druga postaci x=x_A

aa:

Iryt: 1) Znajdz równania stycznych do okręgu o równaniu (x−1)²+(y+1)²=25 , R=5 i przechodzących przez punkt A=(6,9) |AS|²=5²+10²=125 P,Q− punkty styczności 2) x²=|AS|²−R²− kwadrat dł. stycznej x²=125−25=100=10² O(A, r=10) (x−6)²+(y−9)²=100 3) Punkty styczności: (x−6)²+(y−9)²=100 i (x−1)²+(y+1)²=25 P=(−2,3), Q=(6.−1) 4) styczne: AQ: A=(6,9), B=(6,−1)⇔ x=6 i (y∊R) − prosta || OY , AP: A= (6,9) , (−2,3)

	3		9
a=		, b=
	4		2

	3		9
y=		x+
	4		2

===========