matematykaszkolna.pl
Układ kongruencji liniowych bez względnie pierwszych modulo. suotR: Hej, czy pomógłby mi ktoś w zrozumieniu sposobu rozwiązywania takiego układu kongruencji: 3x ≡ 2 (mod 5) x ≡ 1 (mod 7) 13x ≡ (mod 10) Wiem, że należy pomnożyć przez współczynnik przy x, aby otrzymać samego x. x ≡ 1 (mod 5) −> rozkład: 5=5*1 x ≡ 1 (mod 7) −> rozkład: 7=7*1 x ≡ 3 (mod 10) −> rozkład: 10=5*2 Dzięki temu widzim, że modula nie są względnie pierwsze. I tutaj moje pytanie: Co zrobić dalej? Widziałem, że należy CHYBA pomnożyć coś przez odwrotność, ale nie mam pojęcia dlaczego i co mi to da. Czy mógłby ktoś rozjaśnić mi dalsze kroki? Z moich nieudolnych wyliczeń wynika sprzeczność układu, ale nie wiem czy poprawnie dochodzę do tego wnoisku emotka.
3 lut 15:39
chichi: (1) jakim cudem z kongruencji 3x ≡ 2 (mod 5) otrzymujesz x ≡ 1 (mod 5) 3−1 ≡ 2 (mod 5), a więc powinno być x ≡ 4 (mod 5) (2) nie wiem jak wygląda 3 kongruencja, bo nie ma prawej strony... (3) co zrobić dalej? zastosować tw. chinśkie o resztach emotka
3 lut 16:31
suotR: ad. (1) Właśnie tutaj miałem problem i nie byłem pewny poprawności tego "obliczenia". Czemu mamy 3−1 ≡ 2 (mod 5)? Z czego to dokładnie wynika? ad. (2) Brakuje 1. t.j. 13x ≡ 1(mod 10) ad. (3) Na czym to polega? Jakie kroki trzeba wykonać? 🧐 Z góry dzięki z odpowiedź emotka
3 lut 16:47
chichi: jak to z czego wynika? z tego, że 3*2 ≡ 6 ≡ 1 (mod 5). zanim przejdziesz do rozwiązywania układu kongruencji, najpierw trzeba wiedzieć czym w ogóle są kongruencje i z czym to się je. nie wiem co robisz w tym miejscu bez tak podstawowej wiedzy, z jakich materiałów korzystasz mam na myśli skryptów / podręczników / zbiorów zadań? emotka
3 lut 17:02
suotR: chichi, skoro już ustaliliśmy poprawność pierwszej części, mam kolejne pytanie. Co jeśli moduły w układzie kongruencji nie są względnie pierwsze? Jak wtedy postępujemy? Czy nadal można zastosować chińskie twierdzenie o resztach, czy trzeba podejść do tego inaczej? Jeśli tak, to jak dokładnie? Liczę na to, że zamiast lakonicznych wskazówek nakreślisz jakie krok mogę podjąć – skoro tak dobrze to rozumiesz, to pewnie nie będzie problemem, prawda? 😏
3 lut 18:27
chichi: to się przeliczyłeś.
3 lut 20:04
Mila: 1) Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt : 3x=2 (mod5) , Z5={0,1,2,3,4} 2) 3x ≡ 2 (mod 5) /*2 x ≡ 1 (mod 7) 13x ≡1 (mod 10) ======== 13x≡1(mod10)⇔3x≡1 (mod 10) ponieważ 10=2*5 to mamy: 3x≡1(mod 2) i 3x≡1(mod5) 1x≡1(mod2) i 3x≡1(mod5)/*2⇔x≡2(mod5) ================= Mamy układ : x≡4(mod 5) x ≡ 1 (mod 7) x≡1(mod2) x=2 (mod 5) sprzeczność, brak rozwiązań.
3 lut 21:08
Mila: Szukaj na youtube : wpisz układ kongruencji Pan Kowalski , i po angielsku Michael Penn.
3 lut 21:12
SAIzou: 3x ≡ 2 (mod 5) x ≡ 1 (mod 7) → x = 7k+1, k∊Z 13x ≡ 1 (mod 10) 3(7k+1) ≡ 2 (mod 5) 13(7k+1) ≡ 1 (mod 10) 21k + 3 ≡ 2 (mod 5) 91k +13 ≡ 1 (mod 10) 21k ≡ −1 (mod 5) 91k ≡ −12 (mod 10) k ≡ 4 (mod 5) → k = 5m+4, m∊Z k ≡ 8 (mod 10) 5m+4 ≡ 8 (mod 10) 5m ≡ 4 (mod 10) 10 m≡ 8 (mod 10) 0 ≡ 8 (mod 10) sprzeczność układ kongruencji jest sprzeczny
3 lut 22:15