Układ kongruencji liniowych bez względnie pierwszych modulo.
suotR: Hej, czy pomógłby mi ktoś w zrozumieniu sposobu rozwiązywania takiego układu kongruencji:
3x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 7)
13x ≡ (mod 10)
Wiem, że należy pomnożyć przez współczynnik przy x, aby otrzymać samego x.
x ≡ 1 (mod 5) −> rozkład: 5=5*1
x ≡ 1 (mod 7) −> rozkład: 7=7*1
x ≡ 3 (mod 10) −> rozkład: 10=5*2
Dzięki temu widzim, że modula nie są względnie pierwsze. I tutaj moje pytanie: Co zrobić dalej?
Widziałem, że należy CHYBA pomnożyć coś przez odwrotność, ale nie mam pojęcia dlaczego i co mi
to da.
Czy mógłby ktoś rozjaśnić mi dalsze kroki?
Z moich nieudolnych wyliczeń wynika sprzeczność układu, ale nie wiem czy poprawnie dochodzę do
tego wnoisku

.
3 lut 15:39
chichi:
(1) jakim cudem z kongruencji 3x ≡ 2 (mod 5) otrzymujesz
x ≡ 1 (mod 5) 
3
−1 ≡ 2 (mod 5), a więc powinno być
x ≡ 4 (mod 5)
(2) nie wiem jak wygląda 3 kongruencja, bo nie ma prawej strony...
(3) co zrobić dalej? zastosować tw. chinśkie o resztach
3 lut 16:31
suotR: ad. (1)
Właśnie tutaj miałem problem i nie byłem pewny poprawności tego "obliczenia".
Czemu mamy 3
−1 ≡ 2 (mod 5)? Z czego to dokładnie wynika?
ad. (2)
Brakuje 1. t.j. 13x ≡ 1(mod 10)
ad. (3)
Na czym to polega? Jakie kroki trzeba wykonać? 🧐
Z góry dzięki z odpowiedź
3 lut 16:47
chichi:
jak to z czego wynika? z tego, że 3*2 ≡ 6 ≡ 1 (mod 5).
zanim przejdziesz do rozwiązywania układu kongruencji, najpierw trzeba wiedzieć czym w ogóle są
kongruencje i z czym to się je. nie wiem co robisz w tym miejscu bez tak podstawowej wiedzy, z
jakich materiałów korzystasz mam na myśli skryptów / podręczników / zbiorów zadań?
3 lut 17:02
suotR: chichi, skoro już ustaliliśmy poprawność pierwszej części, mam kolejne pytanie. Co jeśli moduły
w układzie kongruencji nie są względnie pierwsze? Jak wtedy postępujemy?
Czy nadal można zastosować chińskie twierdzenie o resztach, czy trzeba podejść do tego inaczej?
Jeśli tak, to jak dokładnie? Liczę na to, że zamiast lakonicznych wskazówek nakreślisz jakie
krok mogę podjąć – skoro tak dobrze to rozumiesz, to pewnie nie będzie problemem, prawda? 😏
3 lut 18:27
chichi:
to się przeliczyłeś.
3 lut 20:04
Mila:
1) Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt : 3x=2 (mod5) , Z5={0,1,2,3,4}
2)
3x ≡ 2 (mod 5) /*2
x ≡ 1 (mod 7)
13x ≡1 (mod 10)
========
13x≡1(mod10)⇔3x≡1 (mod 10) ponieważ 10=2*5 to mamy:
3x≡1(mod 2) i 3x≡1(mod5)
1x≡1(mod2) i 3x≡1(mod5)/*2⇔x≡2(mod5)
=================
Mamy układ :
x≡4(mod 5)
x ≡ 1 (mod 7)
x≡1(mod2)
x=2 (mod 5)
sprzeczność, brak rozwiązań.
3 lut 21:08
Mila:
Szukaj na youtube : wpisz układ kongruencji
Pan Kowalski , i po angielsku Michael Penn.
3 lut 21:12
SAIzou:
3x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 7) → x = 7k+1, k∊Z
13x ≡ 1 (mod 10)
3(7k+1) ≡ 2 (mod 5)
13(7k+1) ≡ 1 (mod 10)
21k + 3 ≡ 2 (mod 5)
91k +13 ≡ 1 (mod 10)
21k ≡ −1 (mod 5)
91k ≡ −12 (mod 10)
k ≡ 4 (mod 5) → k = 5m+4, m∊Z
k ≡ 8 (mod 10)
5m+4 ≡ 8 (mod 10)
5m ≡ 4 (mod 10)
10 m≡ 8 (mod 10)
0 ≡ 8 (mod 10) sprzeczność
układ kongruencji jest sprzeczny
3 lut 22:15