Przekształcenie liniowe kubas: Uzasadnić, że istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe ϕ, które spełnia podane warunki. ϕ : R3→ R3 ϕ((0, 4, 0)) = (4, 0, −8), ϕ((−1, 1, 0)) = (0, 0, 0), ϕ((2, 1, 1)) = (1, 0, −2). Jaki jest rząd tego przekształcenia? Wyznaczyć Im ϕ oraz Ker ϕ podając bazy tych przestrzeni. Zapisałem A = ( (0,4,0) (−1,1,0) (2,1,1) ) Wyznaczyłem wyznacznik macierzy A i wyszedł niezerowy czyli A jest bazą R3, czy to wystarczy aby stwierdzić że istnieje dokładnie 1 przekształcenie liniowe? Im ϕ − to będzie liczba liniowo niezależnych wektorów ? czyli 1 , dlatego Im ϕ to np = Lin((1,0,−2)) I tu mam największy problem z Ker bo jednym rozwiazaniem jest ϕ((−1, 1, 0)) = (0, 0, 0), ale ponieważ dim(kerφ)+dim(Imφ)=dim(V), to oznacza że dim Ker = 2 czyli powinien być jeszcze jeden wektor . Jak go wyznaczyć?

Aruseq: do wyznaczenia drugiego wektora w jądrze: (4,0,−8)−4(1,0,−2)=(0,0,0), czyli φ((4,0,−8)−4(2,1,1))=(0,0,0)

kubas: φ((4,0,−8)−4(2,1,1))=(0,0,0) a dlaczego φ((4,0,−8).... a nie φ((0, 4, 0)... ?

Aruseq: tak tak, źle podstawiłem

kubas: dobrze dziękuje