Problem z granicą Sadlik: Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu granicy. Chciałbym zrozumieć rozwiązanie z zajęć i może poznać jakiś inny sposób rozwiązywania tego typu granic. Jest to granica ciągu, przy n dążącym do nieskończoności z wyrażenia: 1/2+3/2²+...+2n−1/2ⁿ. To wyrażenie na zajęciach oznaczyliśmy jako ciąg an i od ciągu 2an odjęliśmy ten ciąg an, otrzymując kolejny ciąg an, którego postać miała być łatwiejsza do policzenia. W zasadzie odpadam już w tym momencie. Nie wiem co miałem zauważyć, żeby uznać, że pomnożenie an razy 2 coś pomoże − chyba, że wystarczyła świadomość, że 2an−an da znowu an, który być może będzie wyrażony inaczej. Ale nie rozumiem czemu odjęliśmy an od 2an w taki sposób, że za pierwszy wyraz ciągu an uznaliśmy 0 i za ostatni wyraz ciągu 2an również uznaliśmy 0. Dla n=1 wyraz ciągu 2an powinien być równy 1 a ciągu an powinien równać się 1/2. Mogę sobie przesuwać ciągi względem siebie tak, żeby mi się wygodnie odjęło? Bo myśmy to zrobili w taki sposób, żeby odejmować od siebie wyrazy o tych samych mianownikach. Czyli odjęliśmy od siebie te dwa wyrazy co mają 2 w mianowniku, te co mają 2² w mianowniku itp. Wygodne, ale to nie pokrywa się ze wzorem ogólnym obu ciągów. Nie rozumiem czemu to jest dozwolone.

wredulus_inno_komputerowy: 1. Na przyszłość −−− staraj się nie pisać w jednym ciągu −−− cholernie trudno coś takiego się czyta

	1		3		2n−1
2. an =		+		+ ... +
	2		22		2n

3. Szczerze mówiąc −−− czytając to co napisałeś jestem tak samo zagubiony jak Ty, spodziewam się że zostało zrobione z goła co innego niż Ty myślisz ze zostało zrobione. wiemy, że a_n = 2a_n − a_n prawda natomiast:

	1		3		2n−1		3		5		2n−1
2an =2(		+		+...+		) = (1 +		+		+...+		) =
	2		22		2n		2		22		2n−1

	1		2		3		2		2n−3
= 1 + (1 +		) + (		+		) + ... + (		+		) =
	2		22		22		2n−1		2n−1

	1		1		1		1		3		2n−3
= 1 + 1 +		+		+...+		+		+		+...+		=
	2		22		2n−2		2		22		2n−1

	1		1		1		2n−1
= 1 + 1 +		+		+...+		+ (an −		)
	2		22		2n−2		2n

związku z tym:

	1		1		1		2n−1
an = 2an − an = 1 + 1 +		+		+...+		+an −		− an =
	2		22		2n−2		2n

	1		1		1		2n−1
= 1 + [1 +		+		+...+		] −		=
	2		22		2n−2		2n

	2n−1
= 1 + [Sn−1] −		= (*)
	2n

gdzie S_n−1 to suma skończonego ciągu (n−1 elementów) geometrycznego b_n ; b₁ = 1 ; q = 1/2 a więc:

	1 − (1/2)n−1		2n−1		2		2n−1
(*) = 1 + 1*		−		= 3 −		−		=
	1− 1/2		2n		2n−1		2n

	4		2n−1		2n+3
= 3 −		−		= 3 −
	2n		2n		2n

	2n+3
i teraz masz 'ładną' postać an = 3 −
	2n