Relacje rownoważności i porządku Adam234345: Relacja X={{xn}_+∞ⁿ⁼¹ : ∃q∈R: lim_n→+∞x_n=q} {an}R{bn}⇔lim_n→+∞ (an−bn)<0 ∨ ∀n: a_n=b_n i dwa pytania czy relacja jest relacją równoważności lub relacją porządku? Z góry dzięki za pomoc

wredulus_pospolitus: relacja równoważności −−− zadaj sobie pytanie, czy ta relacja jest symetryczna Odnośnie porządku −−− zadaj sobie pytanie, czy ta relacja jest spójna

Adam234345: Wydaje mi się, że nie jest symetryczna przez warunek a_n < b_n. A co do spójności to chyba jest ta relacja

wredulus_pospolitus:

	1		1
nie jest symetryczna ... niech an =		−1 ; bn =
	n		n

stąd a_nRb_n ale już b_nRa_n nie jest prawdą co do spójności:

	1		2
niech an =		; bn =
	n		n

zauważ, że a_nRb_n nie jest prawdą (lim (a_n − b_n) = 0 oraz a_n ≠ b_n) z tego samego powodu b_nRa_n także nie jest prawdą. można było też wziąć takie ciągi:

	1
an =
	n

	⎧	2 dla n=1
bn =	⎩	1/n dla n>1

te ciągi także nie będą w relacji (∃_n a_n ≠ b_n ... a różnica granic wynosi 0)

wredulus_pospolitus: spójność by była zachowana gdybyśmy mieli w relacji ≤ (słabną nierówność). Ostra nierówność powoduje, że dla każdego ciągu istnieje nieskończenie wiele innych ciągów zbieżnych do tej samej granicy, które nie mogą być w relacji z tymże ciągiem (bo chociaż jeden element tych ciągów się różni, a różnica granic = 0)

Adam234345: Ok, czyli już podsumowując relacja jest relacja czesciowego ( bo jest zwrotna, asymetryczna, i przechodnia)porządku ale nie liniowego i nie jest relacją równoważności, tak?

wredulus_pospolitus: da