matematykaszkolna.pl
granica ciągu - wyrazenia nieoznaczone Patrycja: zadanie stąd: https://matematykaszkolna.pl/strona/4332.html kolega pyta czemu nie mozna byloby tego rozwiazac oddzielnie i uzyskac lim n→∞ (n−n−3), przeciez to są te same nieskonczonosci, wiec wg niego powinno wyjsc 0. Ja widzę ze to sa wyrazenia nieoznaczone ale na logike to w sumie trochę przyznaje mu rację, jesli jedno n dazy do tej samej nieskonczonosci co drugie to powinno wyjsc 0. Czemu jednak tak nie jest?
2 gru 12:11
wredulus_pospolitus: Co to znaczy 'osobno' I w jaki sposób doszliście do 'n−n−3' I jak według niego/was: limn−>∞ (n−n−3) = 0 a nie −3 (ja już)
2 gru 12:26
Patrycja: no bo n=∞ i n−3 to wlasciwie taka sama ∞ :?
2 gru 12:34
#k: Na poczatku dostaniesz symbol nieoznaczony [∞−∞] po podstawieniu
2 gru 12:50
wredulus_pospolitus: n−n−3 = −3 nadal ... jakim cudem doszliście do takiej postaci
2 gru 12:58
Patrycja: kolega sobie rozbil calosc na dwa osobne ulamki i z pierwszego wyszlo mu ze granica jest n=∞ a z drugiego n−4* (zle przepisalam) no to w zasadzie stwierdzil ze n−4 to tez =∞
2 gru 14:15
wredulus_pospolitus: okey ... to 'dochodzimy do czegoś' ... czyli zapisał coś takiego
 n2 (n+2)2 
limn−>∞ (
−
) =
 n+2 n+444 
 n2 (n+2)2 
= limn−>∞ (
) − limn−>∞ (
)
 n+2 n+444 
niestety ... taki zapis NIE JEST poprawny. Oczywiście ... istnieje twierdzenie: limn−>∞ (an + bn) = limn−>∞ an + limn−>∞ bn ale w tym twierdzeniu piszemy, że ciągi an i bn są ZBIEŻNE (posiadają skończona granicę). Akurat to twierdzenie można wykorzystać także gdy chociaż jeden z ciągów an, bn jest zbieżny np.: limn−>∞ (n+1) = limn−>∞ n + limn−>∞ 1 = [∞ + 1] = ∞ I de facto korzystamy z tego twierdzenia licząc granice na poziomie liceum Jednak CO JEST ISTOTNE To twierdzenie NIE musi DZIAŁAĆ gdy an i bn są rozbieżne do ±∞ Tak więc −−− sam fakt podzielenia na różnicę dwóch granic jest niepoprawną operacją. Drugą sprawą jest to ... że nawet jak już podzielił na dwie granice ... obliczył je osobno ... to OTRZYMAŁ SYMBOL NIEOZNACZONY ∞ − ∞ a to nie musi (i przeważnie nie jest) równe 0
2 gru 14:37
Patrycja: no ja rozumiem, że z teorii nie ma szans tak zrobic ale na logike dlaczego jedna nieskonczonosc nie rowna sie drugiej skoro jest jedna i ta sama granica przed nimi?
2 gru 14:51
Patrycja: czyli innymi slowy pytam o praktykę tego co jest we wzorze, dlaczego to wyzej nie dojdzie do zera?
2 gru 15:03
wredulus_pospolitus: to popatrz na to w ten sposób: czy limn−>∞ n2 = +∞ i limn−>∞ n = +∞ to 'te same nieskończoności' W końcu 'granica przed nimi jest taka sama'. Oczywiście, że nie. Ale wracając do waszego przykładu. Jak już to bym to zrobił w ten sposób (aby był inny niż pokazane rozwiązanie):
 n2 (n+2)2 
limn−>∞ (
−
) =
 n+2 n+444 
 n2 + 2n − 2n − 4 + 4 n2 + 444n − 440n − 440*444 +440*444 +4 
=limn−>∞ (
−
)
 n+2 n+444 
=
 4 440*444 + 4 
=limn−>∞ [n − 2 +
− (n − 440 +
)] =
 n+2 n+444 
 2 195'364 
= limn−>∞ [ n −2 +
−n + 440 +
] =
 n+2 n+444 
 2 195'364 
= limn−>∞ [ 438 +
+
] =
 n+2 n+444 
 2 195'364 
= limn−>∞ (438) + limn−>∞ (
) + limn−>∞ (
) = 438 + 0 + 0 =
 n+2 n+444 
= 438
2 gru 15:12
wredulus_pospolitus: tutaj tak naprawdę musiałbym z Tobą siąść i ze 2 godziny 'pogadać' (korki) o tym co oznacza, że: limn−>∞ (an − bn) = 50
2 gru 15:16