indukcja Kacperrrr: Wykaż korzystając z indukcji matematycznej, ze dla a≥0, b≥0, n≥1 (a+b)ⁿ ≤ 2ⁿ (aⁿ + bⁿ) Proszę o pomoc

wredulus_pospolitus: Ale jakiej pomocy poszukujesz ... oczywiście poza wykazaniem tego za Ciebie ?

Kacperrrr: Po wykazaniu że zachodzi dla n=1 i założeniu że zachodzi dla n, nie bardzo mam pomysl o co się zaczepić dla n+1, po zapisaniu (a+b)ⁿ * (a+b) ≤ 2 * 2ⁿ(aⁿ+1 + bⁿ+1) (w wykladnikach n+1) próbowałem pomyśleć coś w kierunku znalezienie wyrażenia mniejszego od prawej strony nierówności, ale bez rezultatów

Kacperrrr: Jakaś wskazówka która mogłaby mnie naprowadzić?

wredulus_pospolitus: niech a ≥ b ≥ 0 w takim razie a−b ≥ 0 oraz aⁿ − bⁿ = (a−b)*(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + .... + bⁿ⁻¹) ≥ 0 prawda w takim razie: (a−b)*(aⁿ−bⁿ) ≥ 0 ⇔ aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ ≥ b*aⁿ + a*bⁿ ⇔ ⇔ 2(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) ≥ aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ + b*aⁿ + a*bⁿ ⇔ ⇔ 2(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) ≥ (aⁿ + bⁿ)(a+b) <−−−− widzisz teraz powiązanie z tym co masz u siebie

Kacperrrr: Czyli dobrze rozumiem, że teraz mnożąc wynik Pana nierówności przez 2ⁿ otrzymuje: 2ⁿ⁺¹(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) ≥ 2ⁿ(aⁿ + bⁿ)(a+b) założenie indukcyjne: 2ⁿ(aⁿ + bⁿ) ≥ (a+b)ⁿ więc mnożąc obie strony przez nieujemną liczbę (a+b) otrzymuje 2ⁿ(aⁿ + bⁿ)(a+b) ≥ (a+b)ⁿ(a+b) więc 2ⁿ⁺¹(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) ≥ 2ⁿ(aⁿ+bⁿ)(a+b) ≥ (a+b)(a+b)ⁿ z tego wynika 2ⁿ⁺¹(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) ≥ (a+b)(a+b)ⁿ co należało wykazać to dobry sposób myślenia?

wredulus_pospolitus: tylko sam dowód indukcyjny będzie wyglądał tak: 1. n = 1 (a+b)¹ = a+b ≤ 2*(a+b) 2. n = k (a+b)^k ≤ 2^k(a^k + b^k) 3. n = k+1 L = (a+b)^k+1 = (a+b)^k*(a+b) ≤ // z (2) // ≤ 2^k(a^k+b^k)*(a+b) = = 2^k(a^k+1 + b^k+1) + 2^k(a^kb + ab^k) ≤ ≤ 2^k(a^k+1 + b^k+1) + 2^k(a^k+1 + b^k+1) = = 2^k+1(a^k+1 + b^k+1) = P gdzie ≤ to nierówność którą wcześniej Ci pokazywałem: dla a≥0, b≥0 mamy: (a−b)²(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + .... + bⁿ⁻¹ ≥ 0 ⇔ (a−b)*(aⁿ−bⁿ) ≥ 0 ⇔ ⇔ aⁿb + abⁿ ≤ aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ <−−− i tą nierówność właśnie wykorzystujemy tutaj c.n.w.

Kacperrrr: Rozumiem, dziękuję bardzo za poświęcony czas