Wielomiany W #k: Zadanie nr 22 Wyznacz wszystkie wielomiany W spełniające następujące dwa warunki W(0)=2 W(x₁+x₂)=W(x₁)+W(x₂)+2x₁*x₂−2 dla każdego x₁,x₂∊ℛ

wredulus_pospolitus: Nie mamy tutaj warunku co do tego jakiego stopnia mogą to być wielomiany

#k: We wskazówce jest napisane Zauważ ze stopień wielomianu jest mniejszy od 3 ponewaz w wyrazenu W(x₁`)+W(x₂)+2x₁x₂−2 nie wystepuje składnik typu x₁^n−kx₂^k dla n≥3 ale nie wiem z czym to połaczyć

wredulus_pospolitus: Biorąc pod uwagę wskazówkę (nad którą nie chcę się na chwilę obecną zastanawiać) to wiemy, że wielomian jest stopnia 0 (stała),1 (prosta),2 (parabola) z warunków zadania możemy wyprowadzić zależność: ( W(0) = W(x + (−x)) = ..... ) W(x) + W(−x) = 2x² + 4 1. Stopień 0 (stała) W(x) = W(−x) = 2 + 2 = 2x²+4 −−−−> x = 0 −−−> sprzeczność 2. Stopień 1 (prosta) W(x) + W(−x) = ax+2 + (−ax + 2) = 2x² + 4 −−−> x = 0 −−−> sprzeczność 3. Stopień 2 (parabola) w takim razie funkcja wielomianowa jest SYMETRYCZNA względem x_w = p niech p = 0 wtedy W(x) = W(−x) −−−> W(x) = x² + 2 niech p ≠ 0 zatem W(p) = p² + 2 ogólny wzór funkcji W(x) = (x−p)² + p² + 2 2 = W(0) = (0−p)² + p² + 2 = 2p² + 2 −−−> p = 0 −−−> sprzeczność czyli jedynym wielomianem jest W(x) = x² + 2

wredulus_pospolitus: tam przy stałej miało być oczywiście W(x) + W(−x) = 2 + 2 ......

wredulus_pospolitus: A co do tej wskazówki to ... może już nie myślę o tej porze, ale dla mnie to nie jest żaden argument. W sumie teraz dopiero wpadłem na to jak to można rozwiązać bez tej 'wskazówki' ... ale wątpię aby to było na poziomie szkoły średniej. Mianowicie −−− pobawiłbym się w analizę pochodnej f(x + c) = f(x) + f(c) + 2cx − 2 ; gdzie c = const. f'(x+c) = f'(x) + 2c −−−> wraz zwiększaniem stałej 'c' wartość pochodnej rośnie (o stałą wartość), a jako że mamy tutaj funkcję wielomianową to ta funkcja jest malejąca na przedziale (−∞ , p) i rosnąca na przedziale (p,+∞) gdzie x₀ = p to minimum lokalne co oznacza, że wywalamy wszystkie nieparzyste stopnie wielomianów z dalszej analizy wynika, że funkcja jest symetryczna względem minimum lokalnego, co wynika z: f'(p + c) = 2c = −f'(p−c) co powoduje, że f(p+x) = f(p−x) ; f(x) = g(|x|)*(x−p)² + p² + 2 (gdzie g(|x|) > 0 ; g(x) to funkcja wielomianowa) i doprowadza to do p = 0 a to daje nam f(x) = f(−x) −−−> f(x) = x² + 2 Jak dla mnie wygląda to dobrze,, ale biorę poprawkę na to która jest godzina ... niestety, jest trochę 'machania łapkami'

#k: Na razie dziękuje za ciężką pracę

Fałszywy 6-latek: możecie sobie tu popatrzeć ale nie jestem pewien czy ten gość nie blefuje , lekcje mam non stop i nie ma czasu przeanalizować https://brainly.pl/zadanie/14804032

#k: Naprawde nie zaglądam po innych forach bo nie mam takowej potrzeby Nie blefuje bo nie mam ku temu żadnego powodu +12nx+n² o wspólczynnikach całkowitych wiedząc ze Mam swój zbiór i z niego korzystam Tobie równiez dziękuje za ciężka pracę To był podpunkt b do tego zadania Był jeszcze podpunkt a) ale sobie z nim poradziłem −może jednak napiszę a) Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu W(x)= 2x⁵−x⁴−10x³−(n+1)x²+12nx+n² o współczynnikach całkowitych wiedząc ze jednym z nich jest rozwiązanie równania

	2
x+x3+x5+.......=		(to akuratne proste )
	3