granice ciufcia: Siemka chciałem spytać jak obliczyć granice ciągu używając definicji czyli |a_n−g|<epsilion a_n=1/(−3)ⁿ Czy trzeba podzielic na podciagi i wtedy obie granice beda rowne?

wredulus_pospolitus: nie trzeba dzielić na podciągi −−− granicą będzie g = 0 korzystając z definicji Cauchy'iego by nie 'odnajdujemy granicy' tylko tak naprawdę udowadniamy, że granicą jest g= ... to co wstawiamy (bądź mamy polecenie zadania nam wskazuje co wstawić).

ciufcia: no tak ale wtedy bede musiał zrobic nierownosc −epsilion<a_n−g<epsilion, a nie wiem jak udowodnić taką nierówność z definicji. Plus w momencie w którym wychodzi 1/eps<(−3)ⁿ nie wiem co zrobić dalej bo nie istnieje log z −3

ciufcia: Bo to że g=0 to wiadomo z normalnego liczenia granicy ale nie czaję do końca definicji

wredulus_pospolitus: Okey ... OGÓLNY ZARYS jak podchodzimy do wykazania istnienia granicy z definicji Cauchy'iego. Wybieramy ε > 0 Niech N = .... (tu wartość wpisujemy dopiero po przekształceniach ... na tą chwilę zostawiamy puste) ∀_ε>0 ∃_N∊N+ ∀_n>N |a_n − g| < ε

	1		1		1		1
|an − 0| = |an| = |		| =		= (		)n < (		)N = // i teraz
	(−3)n		3n		3		3

sobie robimy obliczenia 'na brudno' // = (*) // obliczenia na brudno //

	1
(		)N = ε ⇔ log1/3(1/3)N = log1/3ε ⇔ N = log1/3ε
	3

więc bierzemy N = [log_1/3 ε] + 1 ; gdzie [..] <−−− PODŁOGA z liczby i tą wartość wpisujemy na początku tam gdzie pozostawiłem .... // koniec obliczeń na brudno //

	1		1
(*) = (		)[log1/3 ε]+1 < (		)log1/3 ε = ε
	3		3

c.n.w.

wredulus_pospolitus: Wyjaśnienie: 1. N ... czyli moment od którego wszystkie następne wyrazy ciągu a_n będą w widełkach (−ε , ε) musi być uzależniony od wartości ε (w końcu w zależności od wartości od wartości ε mamy różnie widełki ... więc także różny punkt 'startowy' od kiedy a_n na pewno będą w widełkach) 2. Na początku nie wiemy jaka to będzie wartość więc pozostawiamy ją pustą ... z późniejszego szacowania nam ta wartość wychodzi 3. MUSIMY brać podłogę ... ponieważ ε ∊ R₊ (dowolna liczba rzeczywista dodatnia), natomiast N ∊ N₊ (jest liczbą naturalną dodatnią) ... podłoga nam to zapewnia. 4. zauważ, że [log_1/3ε] + 1 ≥ log_1/3ε − 1 + 1 = log_1/3ε (to jest z definicji podłogi) ... stąd mamy ostatnie szacowanie (i tam ostatnie szacowanie powinno być ≤ a nie < )

ciufcia: O dobra dzieki wielkie nie pomyslamem o tym ze można zamienic 1/(−3)ⁿ na 1/3ⁿ

.: 'zamieniamy' moduł z... bo tutaj wtedy masz równość.