proszę o rozwiązanie anna: wykaż że liczba ³√√5+2 − ³√√5−2 jest liczbą całkowitą

Eta: Wskazówka

	√5+1		√5−1
(		)3= √5+2 i (		)3= √5−2
	2		2

chichi: można sprytnie, tj. zauważyć, że:

	√5 + 1		√5 − 1
(		)3 = √5 + 2, analogicznie (		)3 = √5 − 2, zatem
	2		2

	√5 + 1		√5 − 1
3√√5 + 2 − 3√√5 − 2 =		−		= 1 ∊ ℤ □
	2		2

można też pobawić się równaniem ³√√5 + 2 − ³√√5 − 2 = x, podnosząc do 3 potęgi stronami i upraszczając lewą stronę powinnaś dostać równanie wielomianowe, którego jedynym rozwiązaniem będzie właśnie 1, te brzydkie przedstawienia 1 pochodzą ze wzorów Cardano

chichi: ehhh.. nie to skopiowałem przy końcu teraz widzę, tam powinnobyć √5 + 1 − √5 + 1 = 2

ABC: są dwa sposoby , jeden bardzo długi , nawet słynny Dariusz Kulma zrobił w nim błąd w książce "dowody matemtyczne" czy jakoś tak drugi chytry , zauważasz że jakbyś wykonała działanie (1+√5)³ =1+3√5+15+5√5 to ci wyjdzie 8√5+16 czyli 8 razy więcej niż pod pierwszym pierwiastkiem dalej już wiesz co robić

chichi: dokończę ten drugi sposób: x = ³√√5 + 2 − ³√√5 − 2 // (...)³ x³ = √5 + 2 − 3³√(√5 + 2)²(√5 − 2) + 3³√(√5 + 2)(√5 − 2)² − √5 + 2 x³ = 4 − 3³√(5 − 4)(√5 + 2) + 3³√(5 − 4)(√5 − 2) x³ = 4 − 3(³√√5 + 2 − ³√√5 − 2) x³ = 4 − 3x (*) x³ + 3x − 4 = 0 definiując f(x) = x³ + 3x − 4 łatwo widzimy, że f(1) = 0 i ponadto f'(x) = 3x² + 3 > 0 ∀x∊ℝ, a więc jest to jedyne miejsce zerowe funkcji f, a zatem jedyne rozwiązanie równania (*) P.S. jednak rachunki w poście z 21:34 się zgadzają, ale za karę zrobiłem też tym sposobem

Eta: (a−b)³= a³−3ab(a−b)−b^{3 3}√√5+2− ³√√5−2= x |³ √5+2−3³√(√5+2)(√5−2)*x−√5+2=x³ 4−3³√5−4 *x=x³ x³+3x−4=0 (x−1)(x²+x+4)=0 x= 1∊Z

ABC: Zobaczcie jak on zrobił podobne zadanie , uzasadnienie w punkcie 7 nawet nauczycielowi roku nie wolno ufać megawrzuta.pl/sa5wz2t5

anna: dziękuję