Ciągi Kokosz: Dany jest wyraz ogólny ciągu (b_n), gdzie n ∊ N₊. Sprawdź czy ten ciąg jest monotoniczny? b_n=|n − 5| Wg mnie podstawiając kolejne wartości pod n od 1 do np. 10 uzyskujemy wartości ciągu {4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Czyli widać, że nie jest monotoniczny (najpierw maleje potem rośnie) − ale ten sposób wydaje mi się trywialny − przypomina mi spadającego z wieżowca anorektyka, który spadając odlicza piętra: 11, 10, 9, 8, 7, 6 i nagle zawiał wiatr a on odliczał dalej 7, 8, 9, 10, 11 Czy można wykorzystać zasady dotyczące wartości bezwzględnych i sprawdzić, czy w każdym przedziale ciąg jest rosnący lub malejący? b_n+1 – b_n = |n + 1 – 5| – |n – 5| = |n – 4| – |n – 5| Mamy 3 przedziały: I° n < 4 ⇒ |n – 4| = −n + 4 i |n – 5| = −n + 5 więc: |n – 4| – |n – 5| = −n + 4 – (−n + 5) = −n + 4 + n – 5 = −1 < 0 – ciąg malejący II° 4 ≤ n < 5 ⇒ |n – 4| = n – 4 i |n – 5| = −n + 5 więc: |n – 4| – |n – 5| = n – 4 – (−n + 5) = n – 4 + n – 5 = 2n – 9 – ciąg ? III° n ≥ 5 ⇒ |n – 4| = n – 4 i |n – 5| = n – 5 więc: |n – 4| – |n – 5| = n – 4 – (n – 5) = n – 4 – n + 5 = 1 > 0 – ciąg rosnący Ponieważ punkty I° i III° dają sprzeczne oceny to ciąg b_n nie jest monotoniczny Mam jeszcze lekki dylemat co do określenia monotoniczności w punkcie II° choć jako zatwardziały minimalista normalnie zostałbym przy punktach I° i III° i o..puścił punkt II°

wredulus_pospolitus: jako, że mamy sprawdzić monotoniczność ciągu, to: 1. Wypisujemy sobie parę pierwszych wyrazów ciągu. 2. Na tej podstawie widzimy, że ciąg nie jest monotoniczny. 3. Posiłkując się wypisanymi wyrazami pokazujemy, że: a₃ < a₁ ∧ a₃ < a₈ (wyrazy można dobra 'w miarę' dowolnie, tak aby zaszły nierówności zaprzeczające monotoniczności)

wredulus_pospolitus: Pokazanie braku monotoniczności nie wymaga od nas przeprowadzenia jakiejkolwiek 'analizy' ... wystarczy że znajdziemy trzy takie wyrazy ciągu dla których: a_n > a_m > a_p gdzie NIE ZACHODZI n > m > p lub n < m < p

Kokosz: No przyznam, że traktowałem zawsze matmę z szacunkiem należnym Królowej a tu okazuje się, że ma ona także luźniejsze oblicze nie wymagające przedzierania się przez krzakory Dzięki koledze

wredulus_pospolitus: Ogólnie ... 'obalanie' twierdzeń / reguł (monotoniczność ciągu to 'reguła' z jaką się zachowują wyrazy ciągu) przeważnie polega na znalezieniu (wskazaniu) przykładu który obala dane twierdzenie / regułę.

	1
Dla przykładu ... jak mamy sprawdzić czy ciąg {an} = (−1)n +		jest zbieżny do granicy
	n

g = 1, to pokazujemy, że jeden z podciągów będzie zbieżny do granicy g₂ = −1 co obala całą 'teorię' że ciąg {a_n} jest zbieżny do granicy g=1 (na mocy tw. Heinego)