Ciągi Kokosz: Ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym. Wyznacz wyraz ogólny tego ciągu

⎧	d1 = 1
⎩	dn+1 = dn + 2n + 1

Po podstawieniu wychodzi: d₁ = 1, d₂ = 4, d₃ = 9, d₄ = 16 itd w sumie mamy: d_n = n² Ale to jest "metoda na spostrzegawczość" Czy jest możliwość dojścia do wyrazu ogólnego "matematycznie"?

Smok Miluś na wagarach: zauważasz że d_n+1−d_n=2n+1 (*) sumujesz obie strony tej równości po k =1 do n+1 z jednej strony masz sumę teleskopową można też inaczej korzystać z (*) np. metoda różnic skończonych , widzisz że różnica jest liniowa i przewidujesz wzór potęgę wyżej czyli kwadratowy można też z funkcji tworzących ale od tego jest Mariusz

Mila: Jaki poziom edukacji? LO, studia?

Kokosz: LO 3 roz

Kokosz: Więc jak lubię Milusia ... i Kajka i Mirmiła − różnice skończone, sumy teleskopowe i inne przekształcenia salonowe to chyba piętro wyżej jeśli idzie o poziom wiedzy

wredulus_pospolitus: wyjaśnienie tego co Smok napisał: d_n = d_n−1 + 2(n−1) + 1 −−−> I. d_n − d_n−1 = 2(n−1) + 1 II. d_n−1 − d_n−2 = 2(n−2) + 1 III. d_n−2 − d_n−3 = 2(n−3) + 1 ..... d₂ − d₁ = 2*1 + 1 Sumując stronami te równania dostaniemy: d_n − d_n−1 + d_n−1 − d_n−2 + d_n−2 − d_n−3 + .... + d₂ − d₁ = = 2(n−1 + n−2+ n−3 + ... + 1) + (n−1)*1 //wyjaśnienie −−− sumowaliśmy (n−1) równań co nam daje:

	1 + (n−1)
dn − d1 = 2*		*(n−1) + (n−1)
	2

d_n − 1 = n(n−1) + (n−1) d_n = n(n−1) + (n−1) + 1 = n(n−1) + n = n(n−1 + 1) = n²

Mariusz: Mamy równanie rekurencyjne d₁=1 d_n+1 = d_n+2n+1 Zauważ że indeksem pierwszego wyrazu tak zdefiniowanego ciągu jest n=1 a także że rekurencja zachodzi dla n≥1 Definiujesz funkcję tworzącą w sposób następujący D(x) = ∑_n=1^∞d_nxⁿ Wstawiając szereg do równania rekurencyjnego zaczynasz sumować od n=1 bo rekurencja zachodzi od n = 1 ∑_n=1^∞d_n+1xⁿ = ∑_n=1^∞(d_nxⁿ+2n+1)xⁿ ∑_n=1^∞d_n+1xⁿ = ∑_n=1^∞d_nxⁿ + 2(∑_n=1^∞nxⁿ) + ∑_n=1^∞xⁿ

1
	(∑n=1∞dn+1xn+1) =
x

∑_n=1^∞d_nxⁿ + 2(∑_n=1^∞nxⁿ) + ∑_n=1^∞xⁿ ∑_n=1^∞d_n+1xⁿ⁺¹ = x(∑_n=1^∞d_nxⁿ) + 2x(∑_n=1^∞nxⁿ) + x(∑_n=1^∞xⁿ) ∑_n=2^∞d_nxⁿ = x(∑_n=1^∞d_nxⁿ) + 2x(∑_n=1^∞nxⁿ) + x(∑_n=1^∞xⁿ)

	x
∑n=1∞xn =
	1−x

d		d		x
	(∑n=1∞xn) =		(		)
dx		dx		1−x

	1*(1−x)−x*(−1)
∑n=1∞nxn−1 =
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1 =
	(1−x)2

	x
∑n=1∞nxn =
	(1−x)2

d		d		x
	(∑n=1∞nxn) =		(		)
dx		dx		(1−x)2

	1*(1−x)2−x*2(1−x)*(−1)
(∑n=1∞n*nxn−1) =
	(1−x)4

	1 + x
∑n=1∞n2xn−1 =
	(1−x)3

	x(1 + x)
∑n=1∞n2xn =
	(1−x)3

	2x2		x2
∑n=2∞dnxn = x(∑n=1∞dnxn) +		+
	(1−x)2		(1−x)

	2x2		x2
∑n=1∞dnxn − x = x(∑n=1∞dnxn) +		+
	(1−x)2		(1−x)

	2x2		x2
(1−x)(∑n=1∞dnxn) = x +		+
	(1−x)2		(1−x)

	x		2x2		x2
∑n=1∞dnxn =		+		+
	1−x		(1−x)3		(1−x)2

	x(1−x)2		2x2		x2(1−x)
∑n=1∞dnxn =		+		+
	(1−x)3		(1−x)3		(1−x)3

	x(1−x)2+2x2+x2(1−x)
∑n=1∞dnxn =
	(1−x)3

	x−2x2+x3+2x2+x2−x3
∑n=1∞dnxn =
	(1−x)3

	x+x2
∑n=1∞dnxn =
	(1−x)3

∑_n=1^∞d_nxⁿ = ∑_n=1^∞(n²xⁿ) d_n = n² Smoku mamy też takie fajne rekurencje jak H_n+1 = 2xH_n(x)−2nH_n−1(x) H₀(x) = 1 H₁(x) = 2x (n+1)P_n+1(x)=(2n+1)xP_n(x)−nP_n−1(x) P₀(x) = 1 P₁(x) = x albo takie C₀ = 1 C_n+1 = ∑_k=0ⁿC_kC_n−k B₀ = 1

	n k
Bn+1 = ∑k=0n		Bk

Jak rozwiązałbyś te rekurencje tymi swoimi ulubionymi sposobami

wredulus_pospolitus: Mariusz −−− jesteś programistą, więc w trochę inny sposób myślisz niż my. Dla Ciebie znalezienie uniwersalnego sposobu działania jest nadrzędne, bo nie musisz patrzeć 'co by było gdyby' pisząc kod. Natomiast dobry matematyk dostosowuje metodę do zadania, tak aby zrobić, ale się nie narobić przy okazji (lenistwo jest największym kołem napędowym rozwoju). Rozwiązanie pierwotnej rekurencji za pomocą funkcji tworzącej jest zbytecznym marnowaniem czasu. Dodatkowo, tej metody nie ogarnie uczeń szkoły średniej, ponieważ nie ma odpowiednich podstaw. Tak więc −−− nie naskakuj na Smoka, tylko podejść z dystansem do zadania i jak już chcesz podać jak zrobić za pomocą funkcji tworzącej, to przynajmniej daj jakiś komentarze.

Mila: Podobnie jak wredulus: d₁=1, d_n+1=d_n+2n+1 d₂−d₁=2*1+1 d₃−d₂=2*2+1 d₄−d₃=2*3+1 d₅−d₄−2*4+1 . . . d_n+1−d_n=2*n+1 ========sumujemy stronami ( Z lewej zostają niebieskie) d_n+1−d₁=2*(1+2+3+....+n)+n*1

	1+n
dn+1−1=2*		*n+n /+1
	2

d_n+1=n²+n+n+1 d_n+1=(n²+2n+1)=(n+1)² ======= d_n=n² =========

Mariusz: Wredulus a jaki komentarz do tego rozwiązania z funkcją tworzącą byś proponował Te rekurencje co podałem są typowe dla funkcji tworzącej i nawet nie miałbym pomysłu jak je rozwiązać inaczej (Po jednym równaniu na zwykłą i wykładniczą funkcję tworzącą) "...matematyk dostosowuje metodę do zadania, tak aby zrobić, ale się nie narobić" Tak metoda funkcji tworzących wymaga trochę rachunków Mimo iż nie są trudne to jednak zajmują zarówno czas jak i miejsce

papcio: Mariuszu Kokosz jest w III klasie LO.

Mariusz: Papcio , skoro tak to może rzeczywiście jeszcze za wcześnie na podejście z funkcją tworzącą Wredulus tuż po liceum chciałem zostać nauczycielem fizyki i matematyki ale nie wyszło więc skończyłem zaoczną informatykę i tak jak napisałeś zostałem programistą choć nie jestem w tym dobry

Kokosz: Jak ja kocham PAPCIA Za zrozumienie bólu egzystencji....... w LO I za wszystkie historie naszych bohaterów (nawet te z Hegemonem) Głębokie ukłony wysokiemu Ciału Matematycznemu (Mili, Mariuszowi, Wredelusowi−Pospolitusowi i Smokowi Milusiowi) Smoku − nie śpiesz się wracać z tych wagarów − i tak jesteś pewnie lepszy od mojej matematyczki A ja no cóż − spróbuję przetrawić te powyższe koncepcje. Mam nadzieję, że skończy się to bez zatw... no... perturbacji jelitowych i potrzeby sięgania po rycynę.

Kokosz: Milo i Wredelusie Chyba zaczyna na mnie poooowolutku spływać jasność Wygląda mi, że to ta sama metoda tylko kolejność odwrócona. Coś zaczyna się spinać na synapsach. Mariusza i Smoka zostawię sobie na... ferie zimowe

Mila:

Mila: Teraz zmień warunek początkowy np. d₁=2 i rozwiąż dwoma sposobami ( wredulusa i moją )

Mariusz: ...sięgania po rycynę. Czy chcesz się zabić ?

Mila: Mariuszku do kogo adresujesz tę notkę? Pozdrawiam.

Mariusz: Kokosz napisał o rycynie a jak wiadomo zażycie rycyny może być śmiertelne vide George Markov

Kokosz: Mila No to poszły konie...

⎧	d1 = 2
⎩	dn+1 = dn + 2n + 1

Elementy ciągu (z obserwacji) to: (2, 5, 10, 17, 26) więc d_n = n² + 1 No a teraz sposób Mili d₁ = 2 d₂ – d₁ = 2·1 + 1 d₃ – d₂ = 2·2 + 1 d₄ – d₃ = 2·3 + 1 ... d_n+1 – d_n = 2n + 1 Sumując d_n+1 – d₁ = 2·(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) + n·1

	1 + n
dn+1 – 2 = 2·		·n + n
	2

d_n+1 = n + n² + n + 2 d_n+1 = n² + 2n + 2 = n² + 2n + 1 + 1 d_n+1 = (n + 1)² + 1 A więc (pała u polonistki) d_n = n² + 1

Kokosz: A metoda wredulusa to wygląda mi na to samo tylko ciąg jest do wyrazu d_n a nie d_n+1 d₁ = 2 d₂ – d₁ = 2·1 + 1 d₃ – d₂ = 2·2 + 1 d₄ – d₃ = 2·3 + 1 ... d_n – d_{n – 1} = 2(n – 1) + 1 Sumując d_n – d₁ = 2·[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 1)] + (n – 1)·1

	1 + (n – 1)
dn – 2 = 2·		·(n – 1) + (n – 1)
	2

d_n = n – 1 + n² – 2n + 1 + n – 1 + 2 d_n = n² + n – 2n + n – 1 + 1 – 1 + 2 Po redukcji: d_n = n² + 1

Kokosz: A jeśli idzie o rycynę − to stary wypróbowany babciny sposób na poprawę perystaltyki Mariuszku . Matma jest fajna i niełatwa ale to nie powód do desperacji

Mila:

Mila: Moja polonistka też tak postępowała