Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym Marek: Stosując twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, wykaż zbieżność podanego ciągu i wyznacz jego granicę:

	un3 − 1
u1 = a > 0, un+1 = un −
	3un2

Mógłby ktoś pomóc?

ABC: przecież wszystko masz podane co masz robić 1) pokazujesz że twój ciąg jest monotoniczny i ograniczony , zapewne przez indukcję bo definicja jest rekurencyjna 2) z twierdzenia granica istnieje 3) gdy już wiesz że granica istnieje , przechodzisz do niej i rozwiązujesz równanie

	g3−1
g=g−
	3g2

Marek: W taki sposób się zabrałem do tego zadania: 1) Skoro u1 = a > 0 − ciąg ma wyrazy dodatnie, więc jest ograniczony z dołu

	un+1		2un3 + 1
2) Policzyłem iloczyn		i doszedłem do		, gdzie
	un		3un3

widać, że mianownik będzie rósł szybciej, więc rozwiązałem nierówność

2un3 + 1
	< 1 i doszedłem do un > 1, czy z tego mogę wywnioskować, że
3un3

ciąg jest malejący od pewnego miejsca?

ABC: to że u₁ >0 nie wystarczy żeby wszystkie wyrazy były dodatnie rozważ ciąg u_n+1=u_n−2 , nieważne jak duży będzie pierwszy wyraz w końcu pojawią się wyrazy ujemne

wredulus_pospolitus: 2. nie od 'pewnego miejsca' tylko od u₁ (gdy a > 1), u₂ (gdy a ∊ (0; 1) ) LUB jest to ciąg stały (gdy a = 1)

Marek: Dzięki wielkie za pomoc. Mam problem z pierwszym krokiem w indukcji

	un3 − 1		2un3 + 1
un+1 = un −		=
	3un2		3un2

	−un3 + 1
un+1 − un =		> 0 ⇔ un < 1
	3un2

Indukcja: 1. u₁ = a > 0 2. Z: u_n < 1 3. T: u_n+1 < 1 D: u_n+1 < 1 ⇔ 2u_n³ − 3u_n² + 1 < 0

	1
un < −
	2

	1
Z założenia un < 1 − czy to, że un < −		jest równoważne z założeniem
	2

indukcyjnym, czy musi wyjść, że jest < 1? I jeszcze ten pierwszy krok, że u₁ > 0 to też nie pasuje do tego, że u_n < 1 − co zrobiłem źle?

wredulus_pospolitus: Ale ta hipoteza jest błędna: Niech u₁ (u_n) = 0.5

	0.125 − 1
Wtedy u2 (un+1) = 0.5 −		> 0.5 + 1 = 1.5 > 1
	0.75

Poprawną hipotezą byłoby: niech u_n > 0 ∧ u_n ≠ 1, wtedy u_n+1 > 1 u_n+1 > 1 ⇔ 2u_n³ − 3U−n² + 1 > 0 ⇔ (u_n − 1)(2u_n² − u_n − 1) > 0 ⇔ ⇔ (u_n−1)(u_n−1)(2u_n + 1) > 0 ⇔ 2(u_n−1)²(u_n + 1/2) > 0 To ... w połączeniu z: jeżeli u_n > 1 to u_n+1 < u_n (co wykazałeś wcześniej) daje Ci to co chcesz czyli MAMY ZAPEWNIONĄ MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU począwszy od elementu u₂. Osobno należy rozpatrzeć warunek u₁ = a = 1.