trójkat Marko: W trójkącie równobocznym umieszczono jednakowe półkola na bokach trójkątów prostokątnych (zob rys). Oblicz pole zamalowanej części. https://zapodaj.net/images/17baafd6b432b.png

wredulus_pospolitus: Na jakim poziomie nauczania jest to zadanie. Ogólnie nie jest to bardzo trudne zadanie, jednak sam wynik do 'najpiękniejszych' należeć nie będzie.

mam pytanie: Ptrójkąta =8²√3/4=16√3 trójkąty prostokątne 30,60,90 mająprzeciwprostokątna=4 a√3/2=4 a√3=8 a=8/√3 czyli koła mają srendicę 8/√3 mamytrzypołkolaoprominiu 4/√3 trzy połkolamająpole 3* 1/2* π* (4/√3)² =8π odtrójkąta oboku 8odejmujemy 3trojkątyprostokątne oraz trzypołkola Pszukane=16√3−16−8π

wredulus_pospolitus: @mam pytanie −−− 'podoba' mi się to założenie: "przeciwprostokątna = 4" bez absolutnie żadnego wyjaśnienia. Druga sprawa −−− jeżeli przeciw prostokątna jest równa 4, to przyprostokątne są równe 2 i 2√3. Trzecia sprawa −−− przy liczeniu pola trójkąta prostokątnego także namieszałeś. A kończymy na −−− Szukane pole to wartość UJEMNA co widać na pierwszy rzut oka: 16√3 < 16*2 < 16 + 8*3 < 16 + 8π

wredulus_pospolitus: ach jeszcze tak bonusowo ... jakbyś sprawdził swoje obliczenia to dodatkowo byś zauważył, że:

8		8
	>		= 4 <−−− czyli przyprostokątna większa od przeciwprostokątnej
√3		2

To może wtedy byś zauważył, że ma do dupy proporcje zrobioną na wyliczenie przyprostokątnej w trójkącie ekierkowym

wredulus_pospolitus: Ogólnie 'instrukcję' rozwiązania mam gotową i czekam na odzew autora wątku

Marko: To jest poziom liceum

wredulus_pospolitus: Jeden ze sposobów podejścia do problemu: Ze względu na ograniczone możliwości rysowania przerobiłem Twój rysunek: https://zapodaj.net/plik-xan9X7mER8 1. Zauważamy, że trójkąty prostokątne to trójkąty 'ekierkowe' (kąty 30,60,90). związku z tym ich boki to a, √3a, 2a.

	√3
2. Wysokość h opuszczona na przeciwprostokątną ma długość		a
	2

	√3
3. 'Środek' półkola będzie w środku przeciwprostokątnej. Więc r =		a
	2

	√3
4. Z proporcji / Talesa mamy h/2 =		a
	4

5. W lewym dolnym rogu zauważamy, trójkąt ekierkowy (znane boki to 'a' i 'h') z tego mamy

	a
		.
	2

	a
6. Wyjściowy trójkąt ekierkowy ma przeciwprostokątną o długości 2a. 'Oddzieliliśmy'		.
	2

	3		6
Pozostała długość to		a =		a.
	2		4

	3
Z proporcji / Talesa mamy długości		a.
	4

7. Zauważamy, że łącząc 'środki' półkol otrzymamy trójkąt równoboczny (żółty) o boku 2r = √3a

	√3
8. Notujemy, że r = h =		a
	2

9. Prowadzimy równoległą do dolnego boku wyjściowego trójkąta równobocznego i tworzymy trójkąt prostokątny 10. W tym trójkącie znamy przeciwprostokątną (2r = √3a) oraz jedną przyprostokątną

	h		h		√3
(r −		=		=		a)
	2		2		4

	√3
11. Możemy wyliczyć x z tw. Pitagorasa: (√3a)2 = (		a)2 + x2 −−−>
	4

	√15
−−−> x =		a
	4

12. Znając x możemy wyznaczyć 'a'.

	a		3
8 =		+		a + x + a −−−> a =
	2		4

13. I teraz już z górki: Pole_{trójkąt równoboczny o boku 8} = .... 3*Pole_{trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i a√3} = ... 3*Pole_{półkol o r = a√3/2} = ... I koniec zadania.

Marko: Ok dzięki musze to przeanalizowac

Marko: a masz wynik bo mi wychodzi ale na minusie

Marko: A nie jednak ok, dzieki

Marko: Sory jednak wychodzi mi na minusie wynik czy a to 16/33*(9 − √15) ?

wredulus_pospolitus:

	3√5
powinno być x =
	4

	9 + 3√5		8*4		8(3−√5)
8 =		a −−−> a =		=
	4		3(3+√5)		3

wredulus_pospolitus: https://www.wolframalpha.com/input?i=16sqrt%283%29+-+3%288%283-sqrt%285%29%29%2F3%29%5E2+*sqrt%283%29%2F2+-+3*pi*%288%283-sqrt%285%29%29%2F3*sqrt%283%29%2F2%29%5E2%2F2