Dziedzina funkcji
Kokosz: Wyznacz wszystkie wartości parametru m. m∊R dla których dziedziną danej funkcji
wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych
| | 1 | |
1. y = |
| |
| | mx4 + (m+1)x2 + 2m + 2 | |
Dziedzinę wiadomo − wyznaczę z mianownika:
2. mx
4 + (m+1)x
2 + 2m + 2 ≠ 0 dla x∊R
Podstawiam:
3. x
2 = t, t≥0
4. mt
2 + (m+1)t + 2m + 2 ≠ 0
I° warunek
Dla m=0 mamy równanie (nierówność?) liniową:
5. t + 2 ≠ 0 ⇒ t ≠ −2 ∧ t≥0 ⇒
t≥0
Czyli dla
m=0, x∊R
Dla m≠0 mamy równanie (nierówność?) kwadratową (patrz punkt
4)
II° warunek
Na pewno dziedzina będzie różna od 0 jeżeli nie będzie pierwiastków, czyli dla równania
nr
4. Δ<0
6. Δ = (m+1)
2 − 4m(2m + 2) = m
2 + 2m + 1 − 8m
2 − 8m =
−7m2 − 6m + 1 < 0
7. Δ
m = −6
2 − 4(−7) = 36 + 28 = 64 ⇒
√Δm = 8
m ∊ (−oo; −1) ∨ (17; +oo)
III° warunek
Dla równania nr
4. Δ ≥ 0 ale pierwiastki t
1, t
2 lub t
0 mniejsze od 0
9. y = mt
2 + (m+1)t + 2m + 2
| | ⎧ | Δ ≥ 0 | |
| 10. | ⎨ | t1*t2 > 0 |
|
| | ⎩ | t1 + t2 < 0 | |
Ze wzorów Viete'a:
| | c | | 2m + 2 | |
t1*t2 = |
| = |
| > 0 /*m2 |
| | a | | m | |
m(2m + 2) > 0 ⇒ m
1 = 0; m
2 = −1
t
1*t
2 > 0 ⇒ m∊(−oo; −1) ∨ (0; +oo)
| | −b | | −m − 1 | |
t1+t2 = |
| = |
| < 0 /*m2 |
| | a | | m | |
m(−m − 1) < 0 ⇒ m
1 = 0; m
2 = −1
t
1+t
2 < 0 ⇒ m∊(−oo; −1) ∨ (0; +oo)
| | ⎧ | Δ ≥ 0 | |
| 11. | ⎨ | t1*t2 > 0 |
|
| | ⎩ | t1 + t2 < 0 | |
| ⎧ | m ∊ [−1; 17] | |
| ⎨ | m∊(−oo; −1) ∨ (0; +oo) |
|
| ⎩ | m∊(−oo; −1) ∨ (0; +oo) | |
m ∊ (0; 17]
m = 0 (warunek I°)
m ∊ (−oo; −1) ∨ (
17; +oo) (warunek II°)
m ∊ (0;
17] (warunek III°)}
No i się zgubiłem − jak odczytać wartości parametru m dla których dziedziną danej funkcji
wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych
?
Może ktoś pomoże i ewentualnie sprawdzi, czy nie popełniłem gdzieś babola,
bo nie potrafię połączyć danych i wymyślić tego zakresu parametrów m
!