Liniowa niezależność wektorów florelin: Wektory a1, a2, a3 są liniowo niezależne. Dla jakiej wartości parametru k wektory b1 = a1 − ka2, b2 = −2a1 + a3 oraz b3 = −3a2 + ka3 są liniowo zależne? Odpowiedź uzasadnij

wredulus_pospolitus: wektory będą liniowo zależne jeżeli będziemy mieli niezerowe kombinacje α₁,α₂,α₃ takie, że: α₁b₁ + α₂b₂ + α₃b₃ = 0 Tak więc mamy: a₁: α₁ − 2α₂ = 0 −−−> α₁ = 2α₂

	k		2k
a2: −k*α1 −3α3 = 0 −−−> α3 = −		α1 = −		α2
	3		3

	1
a3: α2 + kα3 = 0 −−−> α3 = −		α2
	k

	1		2k		3		√6
tak więc musi zachodzić: −		= −		−−−> k2 =		−−> k = ±
	k		3		2		2

	√6
i wtedy (sprawdzam tylko dla k =		, drugie sprawdź samodzielnie)
	2

	√6
α3 = −		α2 ; α2 = α2 ; α1 = 2α2
	3

wtedy: α₁b₁ + α₂b₂ + α₃b₃ =

	√6		√6
= α1(a1 −		a2) + α2(−2a1 + a3) + α3(−3a2 +		a3) =
	2		2

	√6		√6		√6
= 2α2(a1 −		a2) + α2(−2a1 + a3) −		α2(−3a2 +		a3) =
	2		3		2

	√6*√6
= α2(2a1 −√6a2 −2a1 + a3 +√6a2 −		a3) = α2*0 = 0
	3*2

(dla dowolnego α₂) więc się zgadza.