Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c, której wykres nie przecina Michael : Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c, której wykres nie przecina osi odciętych. Wykaż, że a(2a +3b +6c) > 0.

ite: zadanie nr 1 z etapu OM trwającego do 14 października post do usunięcia

ite: zadanie nr 3 z etapu OM trwającego do 14 października post do usunięcia

ite: ta druga uwaga do innego zadania : )

Mila: Nie rozwiązywać do 14.10. Zadanie niech zostanie. ite, dziękuję za informację

ite: Milu

getin:

	b		c
f(x) = a(x2 +		x +		) gdzie a≠0
	a		a

	b		c
g(x) = x2 +		x +
	a		a

b		c
	= p,		= q
a		a

g(x) = x² + px + q funkcja nie ma miejsc zerowych, więc Δ<0

	1
Δ = p2 − 4q → p2 − 4q < 0 → q >		p2
	4

Przekształcamy tezę 2a² + 3ab + 6ac > 0 |: a², gdzie a≠0

	b		c
2 + 3		+ 6		> 0
	a		a

2 + 3p + 6q > 0 6q > −3p − 2

	1		1
q > −		p −
	2		3

	1		1		1
Uzasadniamy, że dla każdego p zachodzi nierówność		p2 > −		p −
	4		2		3

1		1		1
	p2 > −		p −		|*12
4		2		3

3p² > −6p − 4 3p² + 6p + 4 > 0 Δ_p = 36 − 4*3*4 = −12

	1
Wyrażenie 3p2 + 6p + 4 przyjmuje tylko dodatnie wartości, zatem nierówność		p2 >
	4

	1		1
−		p −		jest prawdziwa dla każdego p∊R
	2		3

	1		1		1		1		1		1
Ponieważ		p2 > −		p −		oraz q >		p2, to q > −		p −		.
	4		2		3		4		2		3

Koniec dowodu